L'application (s,, . . . , s,) I-+ u(s,, . . . , s,) est Wr(U)-multilinéaire. On la
note parfois iP(u).
7.4.3. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M un fibré
vectoriel de base B. Pour tout ouvert U de B et tout s E YM(U), l'application x H (x, s( f (x))) est une section de classe Cr de f *M sur l'ouvert
f - '(U), notée f *s et appelée image réciproque de s par f . L'application
s- f *s de iaM(U) dans iapM(f -'(U)) est semi-linéaire par rapport à
l'homomorphisme g +-+ g 0 (f 1 f - '(U)) de W(U) dans V( f - '(U)).
Si de plus N est un fibré vectoriel de base B' et g un f-comorphisme
de M dans N, on note parfois 9(g) l'application s H g o f *S de YM(U)
dans iPh( f - '(U)).
7.4.4. Soit M un fibré vectoriel de base B, de rangfini. On appelle repère
de M sur un ouvert U de B une suite finie (s,, . . . , s,) de sections de
M sur U telle que (sl(b), . . . , sn(b)) soit une base de l'espace vectoriel 'M,
pour tout b E B. La suite (s,, . . . , sn) est alors une base du V(U)-module
YXU). Si f est un morphisme d'une variété B' dans B, les sections
f *sj forment un repère de f *M sur f -'(U).
7.4.5. Soit L un corps, muni d'une structure de K-algèbre de dimension
finie et soit (My B, n) une fibration. Supposons donnée sur chaque fibre
M, une structure d'espace vectoriel sur L, de dimensionfinie. Il existe alors
au plus une structure de fibré vectoriel sur L de base B sur M, compatible
avec l'application x, la structure de variété de M et les structures L-vectorielles sur les fibres (7.3.4). Pour qu'il en existe une, il faut et il suffit que la
condition suivante soit réalisée :
(FV) Pour tout b,€B, il existe un voisinage ouvert U de b, dans B
et un isomorphisme de variétés cp de zT1(U) sur le produit U x F de U
par un espace vectoriel F sur L de dimension finie, tel que pour tout b E U,
la bijection cp, de M, sur F induite par cp soit un isomorphisme d'espaces
vectoriels sur le corps L.
Les triplets (U, cp, F) satisfaisant à (FV) sont alors des cartes vectorielles
du fibré vectoriel M.
La condition (FV) est équivalente à :
(FV') Pour tout b, E B, il existe un entier n et n sections s,, . . . , s,
de M sur un voisinage ouvert U de b, tels que l'application
(b, a,, . . . , an)- alsl(b) + - . - + a,sn(b)
soit un isomorphisme de la variété U x Ln sur la variété z - '(U).
7.4.6. Soient Ml,. . ., Md et N des fibrés vectoriels de base B, les Mj
étant de rang fini. Supposons donnée pour tout ouvert U de B une
application cp, de YM,(U) x - - . x YM,(U) dans Yh(U), gr(U)-multi-
note parfois iP(u).
7.4.3. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M un fibré
vectoriel de base B. Pour tout ouvert U de B et tout s E YM(U), l'application x H (x, s( f (x))) est une section de classe Cr de f *M sur l'ouvert
f - '(U), notée f *s et appelée image réciproque de s par f . L'application
s- f *s de iaM(U) dans iapM(f -'(U)) est semi-linéaire par rapport à
l'homomorphisme g +-+ g 0 (f 1 f - '(U)) de W(U) dans V( f - '(U)).
Si de plus N est un fibré vectoriel de base B' et g un f-comorphisme
de M dans N, on note parfois 9(g) l'application s H g o f *S de YM(U)
dans iPh( f - '(U)).
7.4.4. Soit M un fibré vectoriel de base B, de rangfini. On appelle repère
de M sur un ouvert U de B une suite finie (s,, . . . , s,) de sections de
M sur U telle que (sl(b), . . . , sn(b)) soit une base de l'espace vectoriel 'M,
pour tout b E B. La suite (s,, . . . , sn) est alors une base du V(U)-module
YXU). Si f est un morphisme d'une variété B' dans B, les sections
f *sj forment un repère de f *M sur f -'(U).
7.4.5. Soit L un corps, muni d'une structure de K-algèbre de dimension
finie et soit (My B, n) une fibration. Supposons donnée sur chaque fibre
M, une structure d'espace vectoriel sur L, de dimensionfinie. Il existe alors
au plus une structure de fibré vectoriel sur L de base B sur M, compatible
avec l'application x, la structure de variété de M et les structures L-vectorielles sur les fibres (7.3.4). Pour qu'il en existe une, il faut et il suffit que la
condition suivante soit réalisée :
(FV) Pour tout b,€B, il existe un voisinage ouvert U de b, dans B
et un isomorphisme de variétés cp de zT1(U) sur le produit U x F de U
par un espace vectoriel F sur L de dimension finie, tel que pour tout b E U,
la bijection cp, de M, sur F induite par cp soit un isomorphisme d'espaces
vectoriels sur le corps L.
Les triplets (U, cp, F) satisfaisant à (FV) sont alors des cartes vectorielles
du fibré vectoriel M.
La condition (FV) est équivalente à :
(FV') Pour tout b, E B, il existe un entier n et n sections s,, . . . , s,
de M sur un voisinage ouvert U de b, tels que l'application
(b, a,, . . . , an)- alsl(b) + - . - + a,sn(b)
soit un isomorphisme de la variété U x Ln sur la variété z - '(U).
7.4.6. Soient Ml,. . ., Md et N des fibrés vectoriels de base B, les Mj
étant de rang fini. Supposons donnée pour tout ouvert U de B une
application cp, de YM,(U) x - - . x YM,(U) dans Yh(U), gr(U)-multi-