7.3.3. Soit A un fibré en algèbres associatives avec élément unité de
base B. On appelle fibré en A-modules de base B un fibré vectoriel M de
base B muni d'un accouplement m : A x B M -, M tel que l'application
m, : Ab x M, - , M, définisse, pour tout b é B, une structure de A,-module
sur la fibre M,.
Soint M et Mt deux fibrés en A-modules. On appelle A-homomorphisme
de M dans M' tout morphisme g : M -, M' de fibres vectoriels de base
B qui induit pour tout b dans B une application Ab-linéaire de M, dans
M; .
Supposons A localement trivial. On dit qu'un fibré M en A-modules
est localement trivial si pour tout point b, de B, il existe une carte vectorielle
t = (U, cp, E) de A en b, comme dans 7.3.2, une carte vectorielle
t' = (U, cp', L) de M en b,, et une structure de E-module sur L telles que,
pour tout b E U, tb soit un t,-isomorphisme du A,-module M, sur le
E-module L.
7.3.4. Soit A une algèbre de Banach sur K (par exemple un corps muni
d'une structure de K-algèbre de dimension finie). Le fibré trivial AB est
alors un fibré en algèbres, localement trivial. Un fibré en AB-modules M
localement trivial est encore appelé un fibré vectoriel sur A (de base B).
Les fibres M, sont alors des A-modules topologiques. Un $morphisme
u de M dans un autre fibré vectoriel sur A est dit A-linéaire si les applications u, sont A-linéaires pour tout b E B.
7.4. Sections
7.4.1. Soif M un fibré vectoriel de base B. Pour tout ouvert U de B,
on note iPM(U) l'ensemble des sections de classe C' de M sur U, c'estàdire des morphismes s de classe C' de U dans M tels que s(b)é M,
pour tout b~ U. - Cet ensemble est muni d'une structure de module sur
l'anneau Vr(U) des fonctions morphiques par les règles :
pour s, s' dans +YM(U) et cp dans Wr(U). Lorsque l'ouvert U varie,
on obtient un faisceau YÈ, d'applications de B dans M (cf. no 21.4.1)~
appelé faisceau des sections de M.
7.4.2. Soient M l , . . . , Md et N des fibrés vectoriels de base M et u un
morphisme multilinéaire de M l x,. . . x B Md dans N. Pour 1 < ,j < d,
donnons-nous une section s, de Mj sur un ouvert U de B; on définit
une section u(s,, . . . , sd) de N sur U par la formule:
u(sl, . . . , sd)(b) = ub(sl(b), . . . , sAb))
pour b é U.
base B. On appelle fibré en A-modules de base B un fibré vectoriel M de
base B muni d'un accouplement m : A x B M -, M tel que l'application
m, : Ab x M, - , M, définisse, pour tout b é B, une structure de A,-module
sur la fibre M,.
Soint M et Mt deux fibrés en A-modules. On appelle A-homomorphisme
de M dans M' tout morphisme g : M -, M' de fibres vectoriels de base
B qui induit pour tout b dans B une application Ab-linéaire de M, dans
M; .
Supposons A localement trivial. On dit qu'un fibré M en A-modules
est localement trivial si pour tout point b, de B, il existe une carte vectorielle
t = (U, cp, E) de A en b, comme dans 7.3.2, une carte vectorielle
t' = (U, cp', L) de M en b,, et une structure de E-module sur L telles que,
pour tout b E U, tb soit un t,-isomorphisme du A,-module M, sur le
E-module L.
7.3.4. Soit A une algèbre de Banach sur K (par exemple un corps muni
d'une structure de K-algèbre de dimension finie). Le fibré trivial AB est
alors un fibré en algèbres, localement trivial. Un fibré en AB-modules M
localement trivial est encore appelé un fibré vectoriel sur A (de base B).
Les fibres M, sont alors des A-modules topologiques. Un $morphisme
u de M dans un autre fibré vectoriel sur A est dit A-linéaire si les applications u, sont A-linéaires pour tout b E B.
7.4. Sections
7.4.1. Soif M un fibré vectoriel de base B. Pour tout ouvert U de B,
on note iPM(U) l'ensemble des sections de classe C' de M sur U, c'estàdire des morphismes s de classe C' de U dans M tels que s(b)é M,
pour tout b~ U. - Cet ensemble est muni d'une structure de module sur
l'anneau Vr(U) des fonctions morphiques par les règles :
pour s, s' dans +YM(U) et cp dans Wr(U). Lorsque l'ouvert U varie,
on obtient un faisceau YÈ, d'applications de B dans M (cf. no 21.4.1)~
appelé faisceau des sections de M.
7.4.2. Soient M l , . . . , Md et N des fibrés vectoriels de base M et u un
morphisme multilinéaire de M l x,. . . x B Md dans N. Pour 1 < ,j < d,
donnons-nous une section s, de Mj sur un ouvert U de B; on définit
une section u(s,, . . . , sd) de N sur U par la formule:
u(sl, . . . , sd)(b) = ub(sl(b), . . . , sAb))
pour b é U.