la donnée d'un f-comorphisme de M dans Mt équivaut à la donnée d'un
B-morphisme de M dans M'.
Soit g unfcomorphisme de M dans M'. Pour tout b E B', l'application g, : x H g(b, X) de MI(,, dans MI, est une application linéaire continue.
Soit de plus f ' un morphisme d'une variété B" dans B' et soit h un
f'-comorphisme de M' dans un fibré vectoriel M" de base B . L'application h of*g de fl*(f*M)=(fof')*M dans M" estalorsun (fofl)-COmorphisme de M dans M , noté h og. Pour ~ E B ,
on a
7.3. Morphismes multiünéaires
7.3.1. Soient Ml,. . . , Md et N des fibrés vectoriels de base B, et soit u
une application de l'ensemble Ml x, . . . x, Md dans N. On dit que u
est un morphisme multilinéaire (ou d-linéaire) si la condition suivante est
réalisée :
Pour tout b, E B, il existe un voisinage ouvert U de b, dans B, des
cartes vectorielles tj = (U, cpJ, Fj) de M j (pour 1 < j < d) et t = (U, cp, F)
de N, et une application A de classe C' de U dans l'espace de Banach
S?(F1,. . . , Fd ; F) des applications d-linéaires continves de F1 x . . - x Fd
dans F, tels que :
(tb O A(bWi, . . , ~ d )
= u(tbl(xl), . - - , &d))
pour tout b E U et tous xj E Fj.
Tout morphisme multilinéaire u est un morphisme de variétés du
produit fibré M l x, . - x, Md dans N et induit pour tout b E B une
application d-linéaire continue u, de (Ml), x . - . x (M,), dans Nb.
Si f est un morphisme de B dans une variété B', un morphisme multilinéaire de Ml x, . . x , Md dans un fibré vectoriel M' de b;?se B' est par
définition le composé d'un morphisme multilinéaire de M l x, . - . x, Md
dans f *Mt avec le fmorphisme canonique de f *M' dans M'.
Un morphisme bilinéaire est encore appelé un accouplement. Pour
d = 1, un morphisme linéaire est un morphisme au sens de 7.2.1. Pour
d = O, un morphisme O-linéaire s'identifie à une section de N (7.4).
7.3.2. On appelle$bré en algèbres de base B un fibré vectoriel A de base
B, muni d'un accouplement de A x,A dans A. Chaque fibre A, est
alors munie d'une structure de K-alghbre. Si pour tout b E B, l'algèbre
A, a un élément unité, noté e,, l'application b- e, est une section de
A (cf. 7.4). On dit qu'un fibré en algèbres A est localement trivial si, pour
tout point b, de B, il existe une carte vectorielle t = (U, cp, E) de A au point
b, et une structure de K-algèbre sur E telles que t, soit un isomorphisme
d'algèbres de E sur A, pour tout b E U.
B-morphisme de M dans M'.
Soit g unfcomorphisme de M dans M'. Pour tout b E B', l'application g, : x H g(b, X) de MI(,, dans MI, est une application linéaire continue.
Soit de plus f ' un morphisme d'une variété B" dans B' et soit h un
f'-comorphisme de M' dans un fibré vectoriel M" de base B . L'application h of*g de fl*(f*M)=(fof')*M dans M" estalorsun (fofl)-COmorphisme de M dans M , noté h og. Pour ~ E B ,
on a
7.3. Morphismes multiünéaires
7.3.1. Soient Ml,. . . , Md et N des fibrés vectoriels de base B, et soit u
une application de l'ensemble Ml x, . . . x, Md dans N. On dit que u
est un morphisme multilinéaire (ou d-linéaire) si la condition suivante est
réalisée :
Pour tout b, E B, il existe un voisinage ouvert U de b, dans B, des
cartes vectorielles tj = (U, cpJ, Fj) de M j (pour 1 < j < d) et t = (U, cp, F)
de N, et une application A de classe C' de U dans l'espace de Banach
S?(F1,. . . , Fd ; F) des applications d-linéaires continves de F1 x . . - x Fd
dans F, tels que :
(tb O A(bWi, . . , ~ d )
= u(tbl(xl), . - - , &d))
pour tout b E U et tous xj E Fj.
Tout morphisme multilinéaire u est un morphisme de variétés du
produit fibré M l x, . - x, Md dans N et induit pour tout b E B une
application d-linéaire continue u, de (Ml), x . - . x (M,), dans Nb.
Si f est un morphisme de B dans une variété B', un morphisme multilinéaire de Ml x, . . x , Md dans un fibré vectoriel M' de b;?se B' est par
définition le composé d'un morphisme multilinéaire de M l x, . - . x, Md
dans f *Mt avec le fmorphisme canonique de f *M' dans M'.
Un morphisme bilinéaire est encore appelé un accouplement. Pour
d = 1, un morphisme linéaire est un morphisme au sens de 7.2.1. Pour
d = O, un morphisme O-linéaire s'identifie à une section de N (7.4).
7.3.2. On appelle$bré en algèbres de base B un fibré vectoriel A de base
B, muni d'un accouplement de A x,A dans A. Chaque fibre A, est
alors munie d'une structure de K-alghbre. Si pour tout b E B, l'algèbre
A, a un élément unité, noté e,, l'application b- e, est une section de
A (cf. 7.4). On dit qu'un fibré en algèbres A est localement trivial si, pour
tout point b, de B, il existe une carte vectorielle t = (U, cp, E) de A au point
b, et une structure de K-algèbre sur E telles que t, soit un isomorphisme
d'algèbres de E sur A, pour tout b E U.