7.2.3. Soient M et M' deux fibrés vectoriels de même base B. On appelle
B-morphisme, ou simplement morphisme de. M dans M' tout Id,-morphisme. Le composé de deux morphismes est un morphisme.
Soit g un morphisme de fibrés vectoriels de M dans M t ; si g est
bijectif, c'est un isomorphisme de la variété M sur la variété Mt, l'application réciproque g- ' est un morphisme de fibrés vectoriels de M' dans M
et l'on a (g-'Ib = gb l pour tout b dans B. L'application g est alors un
isomorphisme de fibrés vectoriels.
7.2.4. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M un fibré
vectoriel de base B. Posons M' = B' x , M et notons z' (resp. g) la
restriction à M' de la projection de B' x M sur B' (resp. M). Il existe sur
M' une structure de fibré vectoriel de base B' (relativement a n') et une
seule pour laquelle g est un f-morphisme. On dit que M' est le fibré
vectoriel de base B' image réciproque de M par f et on le note f *M ; le
f-morphisme g est appelé lef-morphisme canonique de f *M dans M.
La structure de variété de f *M est celle du produit fibré des variétés B'
et M au dessus de B (5.11.2); pour tout b~ B', l'application x-(b, x)
est un isomorphisme d'espaces de Banach de Mffbl sur (f *M), .
La formation des images réciproques de fibrés vectoriels est transitive.
Soit N' un fibré vectoriel de base B' et soit h unf-morphisme de N'
dans M. II existe un BI-morphisme h et un seul de N' dans f * M tel
que h = g ~ h .
Soient N un fibré vectoriel de base B et v un B-morphisme de N dans
M. Il existe un BI-morphisme et un seul, noté ,f *v, de f *N dans f *M tel
que le diagramme
soit commutatif.
7.2.5. Soit B' une sous-variété de B et soit i l'injection canonique de
B' dans B. Si M est un fibré vectoriel de base B, l'image réciproque
i*M s'appelle le fibré vectoriel induit sur B' par M et se note MIB'. Si
t = (U,q,F) est une carte vectorielle de M, alors (U n B', cpl.n-'(U n B'), F)
est une carte vectorielle de MIB'. Le f-morphisme canonique de MIB'
dans M est un isomorphisme de variétés de MIB' sur la sous-variété
a- '(B') de M.
7.2.6. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M (resp.
M') un fibré vectoriel de base B (resp. B'). On appelle f-comorphisme de M
dans M' un B'-morphismede f *M dans M'. Lorsque B = R' et f = IdB.
B-morphisme, ou simplement morphisme de. M dans M' tout Id,-morphisme. Le composé de deux morphismes est un morphisme.
Soit g un morphisme de fibrés vectoriels de M dans M t ; si g est
bijectif, c'est un isomorphisme de la variété M sur la variété Mt, l'application réciproque g- ' est un morphisme de fibrés vectoriels de M' dans M
et l'on a (g-'Ib = gb l pour tout b dans B. L'application g est alors un
isomorphisme de fibrés vectoriels.
7.2.4. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M un fibré
vectoriel de base B. Posons M' = B' x , M et notons z' (resp. g) la
restriction à M' de la projection de B' x M sur B' (resp. M). Il existe sur
M' une structure de fibré vectoriel de base B' (relativement a n') et une
seule pour laquelle g est un f-morphisme. On dit que M' est le fibré
vectoriel de base B' image réciproque de M par f et on le note f *M ; le
f-morphisme g est appelé lef-morphisme canonique de f *M dans M.
La structure de variété de f *M est celle du produit fibré des variétés B'
et M au dessus de B (5.11.2); pour tout b~ B', l'application x-(b, x)
est un isomorphisme d'espaces de Banach de Mffbl sur (f *M), .
La formation des images réciproques de fibrés vectoriels est transitive.
Soit N' un fibré vectoriel de base B' et soit h unf-morphisme de N'
dans M. II existe un BI-morphisme h et un seul de N' dans f * M tel
que h = g ~ h .
Soient N un fibré vectoriel de base B et v un B-morphisme de N dans
M. Il existe un BI-morphisme et un seul, noté ,f *v, de f *N dans f *M tel
que le diagramme
soit commutatif.
7.2.5. Soit B' une sous-variété de B et soit i l'injection canonique de
B' dans B. Si M est un fibré vectoriel de base B, l'image réciproque
i*M s'appelle le fibré vectoriel induit sur B' par M et se note MIB'. Si
t = (U,q,F) est une carte vectorielle de M, alors (U n B', cpl.n-'(U n B'), F)
est une carte vectorielle de MIB'. Le f-morphisme canonique de MIB'
dans M est un isomorphisme de variétés de MIB' sur la sous-variété
a- '(B') de M.
7.2.6. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M (resp.
M') un fibré vectoriel de base B (resp. B'). On appelle f-comorphisme de M
dans M' un B'-morphismede f *M dans M'. Lorsque B = R' et f = IdB.