Alors, le triplet (a-'(U), a, E x F) est une carte de l'ensemble M. Il
existe sur M une structure de variété de classe C' et une seule (dite sousjacente à M) pour laquelle toutes les cartes ainsi obtenues sont des cartes
de la variété M. Le triplet (M, B, x ) est alors unefibration (6.1.1).
7.1.5. Soit F un espace de Banach. Posons M = B x F, l'application
étant la première projection. Il existe sur M une structure de fibré vectoriel
(de base B) et une seule pour laquelle (B, Id,, F) est une carte vectorielle.
On dit que B x F muni de cette structure est lejîbré vectoriel trivial de
base B et de fibre F et on le note parfois FB. La structure de variété de
FB est la structure de variété produit et pour tout b~ B, l'application
h - (b, h) est un isomorphisme d'espaces de Banach de F sur la fibre de
F, au point b E B. On note souvent O un fibré vectoriel trivial de fibre
réduite à 0.
7.1.6. Soit M un fibré vectoriel de base B. Pour b E B, on appelle rang de
M en b et on note rg,(M), la dimension (finie ou + CO) de l'espace de
Banach M,. On a dim,M = dimbB + rg,M pour b = ~ ( x ) .
La fonction
b - rg,M est localement constante. On dit que M est de rang fini si
rg,M < + co pour tout b E B.
7.2. Morphismes de fibrés vectoriels
7.2.1. Soient B et Br deux variétés et soit f un morphisme de B dans B'.
Soient M un fibré vectoriel de base B et M' un fibré vectoriel de base B'.
On dit qu'une application g de M dans M' est unf-morphisme de fibrés
vectoriels si la condition suivante est réalisée :
Pour tout point bo E B, il existe une carte vectorielle t = (U, q, F) de
M en b,, une carte vectorielle t' = (U',(pf,F') de M' en f(b,) et une
application  declasse Cr de U dans 9 ( F ; F') tellesque f (U) c U' etque
g, c t, = t;(,, 0 A(b) pour tout b E U, où g, est la restriction de g à M,.
Sous ces hypothèses, g est un niorphisme de variétés et pour tout b E B,
g induit une application linéaire continue de M, dans Micq,. On appelle
rang vectoriel de g en b E B et on note rgb(g) le rang (fini ou + co) de
l'application linéaire g,.
Réciproquement, si r 2 CO ou si M est de rang fini, un f-morphisme
de fibrations de (M, B, a) dans (M', B,' , d) qui induit sur chaque fibre M,
une application linéaire de M, dans Mi(,, (pour tout b E B), est unf-morphisme de fibrés vectoriels.
7.2.2. Soit de plus f ' un morphisme de B' dans une variété B". Si g est
un f-morphisme de M dans M', et si g' est un ff-morphisme de M'
dans un fibré vectoriel M" de base B", l'application g' O g est un (f' of )morphisme de M dans Mn. On a (g' O g), = gj(,, O g, pour tout b dans B.
existe sur M une structure de variété de classe C' et une seule (dite sousjacente à M) pour laquelle toutes les cartes ainsi obtenues sont des cartes
de la variété M. Le triplet (M, B, x ) est alors unefibration (6.1.1).
7.1.5. Soit F un espace de Banach. Posons M = B x F, l'application
étant la première projection. Il existe sur M une structure de fibré vectoriel
(de base B) et une seule pour laquelle (B, Id,, F) est une carte vectorielle.
On dit que B x F muni de cette structure est lejîbré vectoriel trivial de
base B et de fibre F et on le note parfois FB. La structure de variété de
FB est la structure de variété produit et pour tout b~ B, l'application
h - (b, h) est un isomorphisme d'espaces de Banach de F sur la fibre de
F, au point b E B. On note souvent O un fibré vectoriel trivial de fibre
réduite à 0.
7.1.6. Soit M un fibré vectoriel de base B. Pour b E B, on appelle rang de
M en b et on note rg,(M), la dimension (finie ou + CO) de l'espace de
Banach M,. On a dim,M = dimbB + rg,M pour b = ~ ( x ) .
La fonction
b - rg,M est localement constante. On dit que M est de rang fini si
rg,M < + co pour tout b E B.
7.2. Morphismes de fibrés vectoriels
7.2.1. Soient B et Br deux variétés et soit f un morphisme de B dans B'.
Soient M un fibré vectoriel de base B et M' un fibré vectoriel de base B'.
On dit qu'une application g de M dans M' est unf-morphisme de fibrés
vectoriels si la condition suivante est réalisée :
Pour tout point bo E B, il existe une carte vectorielle t = (U, q, F) de
M en b,, une carte vectorielle t' = (U',(pf,F') de M' en f(b,) et une
application  declasse Cr de U dans 9 ( F ; F') tellesque f (U) c U' etque
g, c t, = t;(,, 0 A(b) pour tout b E U, où g, est la restriction de g à M,.
Sous ces hypothèses, g est un niorphisme de variétés et pour tout b E B,
g induit une application linéaire continue de M, dans Micq,. On appelle
rang vectoriel de g en b E B et on note rgb(g) le rang (fini ou + co) de
l'application linéaire g,.
Réciproquement, si r 2 CO ou si M est de rang fini, un f-morphisme
de fibrations de (M, B, a) dans (M', B,' , d) qui induit sur chaque fibre M,
une application linéaire de M, dans Mi(,, (pour tout b E B), est unf-morphisme de fibrés vectoriels.
7.2.2. Soit de plus f ' un morphisme de B' dans une variété B". Si g est
un f-morphisme de M dans M', et si g' est un ff-morphisme de M'
dans un fibré vectoriel M" de base B", l'application g' O g est un (f' of )morphisme de M dans Mn. On a (g' O g), = gj(,, O g, pour tout b dans B.