5 7. Fibrés vectoriels
Dans tout ce paragraphe, la lettre B désigne une variété de classe
C' (Y 2 1) et la lettre M désigne un ensemble muni d'une application a
de M dans B. On dit que B est la base de M et pour tout ~ E B ,
on
désigne par M, et on appelle fibre de M en b le sous-ensemble a-'(b)
de M.
7.1. Défuution des fibrés vectoriels
7.1.1. Une carte vectorielle de M est un triplet t = (U, cp, FJ, où U est un
ouvert de B, où F est un espace de Banach et cp une bijection de n-'(U)
sur U x F telle que n(q-'(b, h)) = b pour tout ~ E B
et tout ~ E F .
On
dit que U est le domaine de la carte vectorielle t et que t est une carte
vectorielle de M en b € B si EU. Pour tout b e U , on note t, la
bijection de F sur M, définie par t,(h) = cp- '(b, h) pour h E F.
7.1.2. On dit que deux cartes vectorielles t = (U, 9, F) et t' = (Ut, cp' , F')
de M sont C'compatibles (ou simplement compatibles) s'il existe une
application 1 de classe C' de la variété U n U' dans l'espace de Banach
9 ( F ; F') telle que :
t, = ta O %(b) pour tout b E U n U'.
7.1.3. On dit qu'un ensemble de cartes vectorielles de M est un C'-atlas
vectoriel (ou simplement atlas vectoriel) de M s'il se compose de cartes
vectorielles deux à deux C'-compatibles dont les domaines ont B pour
réunion. On dit que deux atlas vectoriels d et $3 de M sont Cr-équivalents (ou équivalents) si d u CW est encore un atlas vectoriel de M. Cette
relation est une relation d'équivalence.
7.1.4. Une structure defibré vectoriel de classe Cr (de base B) sur M est la
donnée d'une classe d'atlas vectoriels équivalents (Ens., Chap. II, $6, no 9).
Une carte vectorielle appartenant à un atlas vectoriel de cette classe est
appelée une carte vectorielle du fibré vectoriel M.
Soit M un fibré vectoriel de base B. Pour tout b E B, il existe sur la
fibre M, une structure d'espace de Banach et une seule telle que, pour toute
carte vectorielle t = (U, cp, F) du fibré vectoriel M en b, l'application th
soit un isomorphisme de F sur M,.
Soit c = (U, $, E) une carte de la variété B et soit t = (U, p, F) une
carte vectorielle du fibré vectoriel M, de même domaine U. Pour
x E X- '(U), posons :
44 = (*(n(x)), t,&(x)).
Dans tout ce paragraphe, la lettre B désigne une variété de classe
C' (Y 2 1) et la lettre M désigne un ensemble muni d'une application a
de M dans B. On dit que B est la base de M et pour tout ~ E B ,
on
désigne par M, et on appelle fibre de M en b le sous-ensemble a-'(b)
de M.
7.1. Défuution des fibrés vectoriels
7.1.1. Une carte vectorielle de M est un triplet t = (U, cp, FJ, où U est un
ouvert de B, où F est un espace de Banach et cp une bijection de n-'(U)
sur U x F telle que n(q-'(b, h)) = b pour tout ~ E B
et tout ~ E F .
On
dit que U est le domaine de la carte vectorielle t et que t est une carte
vectorielle de M en b € B si EU. Pour tout b e U , on note t, la
bijection de F sur M, définie par t,(h) = cp- '(b, h) pour h E F.
7.1.2. On dit que deux cartes vectorielles t = (U, 9, F) et t' = (Ut, cp' , F')
de M sont C'compatibles (ou simplement compatibles) s'il existe une
application 1 de classe C' de la variété U n U' dans l'espace de Banach
9 ( F ; F') telle que :
t, = ta O %(b) pour tout b E U n U'.
7.1.3. On dit qu'un ensemble de cartes vectorielles de M est un C'-atlas
vectoriel (ou simplement atlas vectoriel) de M s'il se compose de cartes
vectorielles deux à deux C'-compatibles dont les domaines ont B pour
réunion. On dit que deux atlas vectoriels d et $3 de M sont Cr-équivalents (ou équivalents) si d u CW est encore un atlas vectoriel de M. Cette
relation est une relation d'équivalence.
7.1.4. Une structure defibré vectoriel de classe Cr (de base B) sur M est la
donnée d'une classe d'atlas vectoriels équivalents (Ens., Chap. II, $6, no 9).
Une carte vectorielle appartenant à un atlas vectoriel de cette classe est
appelée une carte vectorielle du fibré vectoriel M.
Soit M un fibré vectoriel de base B. Pour tout b E B, il existe sur la
fibre M, une structure d'espace de Banach et une seule telle que, pour toute
carte vectorielle t = (U, cp, F) du fibré vectoriel M en b, l'application th
soit un isomorphisme de F sur M,.
Soit c = (U, $, E) une carte de la variété B et soit t = (U, p, F) une
carte vectorielle du fibré vectoriel M, de même domaine U. Pour
x E X- '(U), posons :
44 = (*(n(x)), t,&(x)).