(h, y ) H h . y la loi d'opération de H sur F. Le groupe G opère sur F par
(g, y).-. cp(g). y. Soit E un espace fibré associé à q ( A ) de fibre type F.
L'application (x, y)- f(x). y de P x F dans E (l'application f étant
celle définie au no 6.6.1) munit E d'une structure d'espace fibré associé à
 de fibre type F. En particulier, (P x H) x F s'identifie à P x F.
6.6.4. Supposons que G soit une sous-variété de groupe de H, et que
cp : G - , H soit l'injection canonique de G dans H. On dit alors que
q(A) se déduit de A par extension à H du groupe structural. Le morphisme
f : P - , P x H du no 6.6.1 est un isomorphisme de P sur une sousvariété fermée de P x H (égale à P x H si G = H); cet isomorphisme
est compatible avec les opérations de G (noter que G opère sur P x H
comme sous-groupe de H).
6.6.5. Supposons encore que G soit une sous-variété de groupe de H, et
soit p = (Q, H, B, x) une fibration principale de groupe structural H et de
base B, et soit E un espace fibré associé à p de fibre type H/G. Si 1,
désigne la projection canonique de H sur H/G, posons 6(y) = y . ~ ( e ) ,
pour y E Q (où e désigne l'élément neutre de H); on obtient ainsi un
morphisme 6 : Q -+ E et le quadruplet (Q, G, E, 6) est une fibration principale. En particulier, Q/G s'identifie canoniquement à E, lui-même isomorphe à Q x H H / G '.
Soit maintenant s : B + E une section de E, et soit 2, l'image réciproque par s de la fibration (Q, G, E, 6) que l'on vient de définir. C'est
une fibration principale, de base B et de groupe structural G et son extension à H est isomorphe à p ; toutfibration jouissant de ces propriétés peut
être obtenue ainsi, à un isomorphisme près; deux sections s, et s, de E
définissent des fibrations isomorphes si et seulement si elles sont transformées
l'une de l'autre par un H-B-automorphisme de p.
6.7. Changements de structure
Les structures et opérations décrites dans ce paragraphe sont compatibles
avec les changements de structure décrits aux numéros 5.13 et 5.14.
' Dans le cas topologique (cf. note ' . Fige 6.1 ). il ebt nécessaire de supposer que les translations à droite par les éléments de G font de H un espace fibri principal de groupe structural
G. de base H/G : cela revient à dirc qu'il y a un ouvert non vidc de H/G au-dessus duquel
la projection H -t H/G admet une section continue. Dans la catégorie des variétés, la condition
analogue est toujours satisfaite (cf. no 6.7.4).
(g, y).-. cp(g). y. Soit E un espace fibré associé à q ( A ) de fibre type F.
L'application (x, y)- f(x). y de P x F dans E (l'application f étant
celle définie au no 6.6.1) munit E d'une structure d'espace fibré associé à
 de fibre type F. En particulier, (P x H) x F s'identifie à P x F.
6.6.4. Supposons que G soit une sous-variété de groupe de H, et que
cp : G - , H soit l'injection canonique de G dans H. On dit alors que
q(A) se déduit de A par extension à H du groupe structural. Le morphisme
f : P - , P x H du no 6.6.1 est un isomorphisme de P sur une sousvariété fermée de P x H (égale à P x H si G = H); cet isomorphisme
est compatible avec les opérations de G (noter que G opère sur P x H
comme sous-groupe de H).
6.6.5. Supposons encore que G soit une sous-variété de groupe de H, et
soit p = (Q, H, B, x) une fibration principale de groupe structural H et de
base B, et soit E un espace fibré associé à p de fibre type H/G. Si 1,
désigne la projection canonique de H sur H/G, posons 6(y) = y . ~ ( e ) ,
pour y E Q (où e désigne l'élément neutre de H); on obtient ainsi un
morphisme 6 : Q -+ E et le quadruplet (Q, G, E, 6) est une fibration principale. En particulier, Q/G s'identifie canoniquement à E, lui-même isomorphe à Q x H H / G '.
Soit maintenant s : B + E une section de E, et soit 2, l'image réciproque par s de la fibration (Q, G, E, 6) que l'on vient de définir. C'est
une fibration principale, de base B et de groupe structural G et son extension à H est isomorphe à p ; toutfibration jouissant de ces propriétés peut
être obtenue ainsi, à un isomorphisme près; deux sections s, et s, de E
définissent des fibrations isomorphes si et seulement si elles sont transformées
l'une de l'autre par un H-B-automorphisme de p.
6.7. Changements de structure
Les structures et opérations décrites dans ce paragraphe sont compatibles
avec les changements de structure décrits aux numéros 5.13 et 5.14.
' Dans le cas topologique (cf. note ' . Fige 6.1 ). il ebt nécessaire de supposer que les translations à droite par les éléments de G font de H un espace fibri principal de groupe structural
G. de base H/G : cela revient à dirc qu'il y a un ouvert non vidc de H/G au-dessus duquel
la projection H -t H/G admet une section continue. Dans la catégorie des variétés, la condition
analogue est toujours satisfaite (cf. no 6.7.4).