fibré associé à I de fibre type F. Soit s : B + E une section de E. Pour
tout x E P, il existe un élément unique a(x) E F tel que s(z(x)) = x . o(x).
L'application o : P -+ F ainsi définie est un morphisme de variétés, et
vérifie l'identité:
L'application s H o est une bijection de l'ensemble des sections de E sur
l'ensemble des morphismes de P dans F qui vérifient l'identité (*).
6.5.7. Soient A = (P, G, B, aj. et A' = (P', G, B, n') deux fibrations principales de même base B et de même groupe structural G. La fibration
principale  x , A' = (P x , P', G x G, B, (z, n'),) a pour groupe structural
G x G. Faisons opérer G x G à gauche sur G par la formule :
et soit E l'espace fibré associé à A x , A' de fibre type G (muni de Ia loi
d'opération définie ci-cessus). Alors les sections de E correspondent bijectivement aux isomorphismes de P sur Pr.. De façon précise, si s est une
section de E correspondant (cf. no 6.5.6) au morphisme a : P x , P' + G,
il existe un G-B-isomorphisme f, : P - P' et un seul tel que o(x,f,(x)) = e
pour tout x E P ; l'application s - f, est une bijection de l'ensemble des
sections de E sur l'ensemble des G-B-isomorphismes de P sur Pr.
6.6. Extension et restriction du groupe structurai
6.6.1. Soit A = (P, G, B, n) une fibration principale, et soit cp un homomorphisme de G dans une variété de groupe H. Faisons opérer G à gauche sur
H par g . h = cp(g) . h et soit P x H l'espace fibré associé à Â de fibre
type H. Comme les translations à droite dans H sont compatibles avec les
opérations de G, le groupe H opère à droite sur P x H (cf. no 6.5.5); si
aH désigne la projection de P x H sur B, le quadruplet (P x H, H, B, z,)
est une fibration principale, notée cp(A); on dit qu'elle se déduit de A par
l'homomorphisme cp.
L'application f de P dans P x H qui associe à x E P la classe de
(x, e) est un B-morphisme de P dans P x G H compatible avec cp (cf. no
6.3.1). De plus, si f ' est un B-morphisme de P dans un espace fibré principal
P' de groupe structural H, et si f ' est compatible avec cp, il existe un
H-B-isomorphisme unique 0 de P x H sur P' tel que f ' = 8 o f :
6.6.2. Supposons que  soit définie au moyen d'un recouvrement ouvert
Y = (U,) de B et d'un cocycle (gij) (6.4.2). Alors q(Â) peut être défini
au moyen du même recouvrement et du cocycle (h,), avec hij = cp O g,.
6.6.3. Soit F une variété sur laquelle le groupe H opère à gauche ; on note
tout x E P, il existe un élément unique a(x) E F tel que s(z(x)) = x . o(x).
L'application o : P -+ F ainsi définie est un morphisme de variétés, et
vérifie l'identité:
L'application s H o est une bijection de l'ensemble des sections de E sur
l'ensemble des morphismes de P dans F qui vérifient l'identité (*).
6.5.7. Soient A = (P, G, B, aj. et A' = (P', G, B, n') deux fibrations principales de même base B et de même groupe structural G. La fibration
principale  x , A' = (P x , P', G x G, B, (z, n'),) a pour groupe structural
G x G. Faisons opérer G x G à gauche sur G par la formule :
et soit E l'espace fibré associé à A x , A' de fibre type G (muni de Ia loi
d'opération définie ci-cessus). Alors les sections de E correspondent bijectivement aux isomorphismes de P sur Pr.. De façon précise, si s est une
section de E correspondant (cf. no 6.5.6) au morphisme a : P x , P' + G,
il existe un G-B-isomorphisme f, : P - P' et un seul tel que o(x,f,(x)) = e
pour tout x E P ; l'application s - f, est une bijection de l'ensemble des
sections de E sur l'ensemble des G-B-isomorphismes de P sur Pr.
6.6. Extension et restriction du groupe structurai
6.6.1. Soit A = (P, G, B, n) une fibration principale, et soit cp un homomorphisme de G dans une variété de groupe H. Faisons opérer G à gauche sur
H par g . h = cp(g) . h et soit P x H l'espace fibré associé à Â de fibre
type H. Comme les translations à droite dans H sont compatibles avec les
opérations de G, le groupe H opère à droite sur P x H (cf. no 6.5.5); si
aH désigne la projection de P x H sur B, le quadruplet (P x H, H, B, z,)
est une fibration principale, notée cp(A); on dit qu'elle se déduit de A par
l'homomorphisme cp.
L'application f de P dans P x H qui associe à x E P la classe de
(x, e) est un B-morphisme de P dans P x G H compatible avec cp (cf. no
6.3.1). De plus, si f ' est un B-morphisme de P dans un espace fibré principal
P' de groupe structural H, et si f ' est compatible avec cp, il existe un
H-B-isomorphisme unique 0 de P x H sur P' tel que f ' = 8 o f :
6.6.2. Supposons que  soit définie au moyen d'un recouvrement ouvert
Y = (U,) de B et d'un cocycle (gij) (6.4.2). Alors q(Â) peut être défini
au moyen du même recouvrement et du cocycle (h,), avec hij = cp O g,.
6.6.3. Soit F une variété sur laquelle le groupe H opère à gauche ; on note