no 6.5
FIBRATIONS
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F muni d'une structure s d'espèce quelconque C (cf. Ens., chap. IV, 5 1,
no 4) et supposons que s soit invariante par G ; il existe alors sur F, une
structure s, d'espèce C et une seule telle que les ' O, : F -, F, soient des
isomorphismes; on l'obtient en transportant s au moyen de l'un des O,
(loc. cit., no 5).
Si s est une section de P au-dessus d'un ouvert U de B, l'application
(b, f ) H s(b) . f est un isomorphisme de U x F sur nË '(U).
6.5.3. Exemples :
(a) Soit A = (B x G, B, pr,), soit E = B x F, et soit
p:(B x G) x F + E
l'application (b, g, f )- (b, g . f). On obtient ainsi sur B x F une structure
d'espace fibré associé à A de fibre type F, qui est dite triviale.
(b) Soient A = (P, G, B, n) et Â' = (Pt, Gr, B', n') deux fibrations
principales. Soit F (resp. F') une variété sur laquelle G (resp. G') opère
à gauche; et soit E (resp. E') un espace fibré associé à A (resp. à A' )
de fibre type F (resp. F'). Le groupe G x G' opère sur F x F' par
(9. g') . (fi f") = Cp . f; g' . f '). L'application (P x P') x (F x F') - + E x E'
produit des applications repères P x F + E et P' x F' + Et munit
E x E' d'une structure d'espacefibré associé à A x A' defibre type F x F'.
(c) Avec les notations de (b), si l'on suppose que B' = B, on définit de
même sur E x , E' une structure d'espace jibré associé à A x , i' de fibre
type F x F'.
6.5.4. Les notations étant celles du no 6.5.1, soit h : B' -+ B un morphisme,
soit Â' = B' x , A, et soit E' = E' x , E. Si P' = B' x , P, définissons
une application P' x F -, E' en posant (b', x) . f = (b', x . f ) ; on munit
ainsi E' d'une structure d'espacefibré associé a A' de jibre type F ; on
l'appelle l'image réciproque par h de la structure donnée sur E.
6.5.5. Soit  = (P, G, B, A) une fibration principale, et soit E (resp. E')
un espace fibré associé à Â de fibre type F (resp. F'). Soit u : F -, F' un
morphisme compatible avec les opérations de G (c'est-à-dire tel que
u(g . f ) = g . u( f ) pour f E F, g E G). Il existe alors un morphisme ü : E + E'
et un seul tel que l'on ait ii(x . f) = x . u( f ) pour x E P, f E F. Si u est une
immersion (resp. une submersion, une subimrnersion), il en est de même de ii.
En particulier, supposons qu'une variété de groupe H opère à droite sur
F de telle sorte que g . (f. h) = (g . f ) . h pour g E G, f E F, h E H. Tout
h E H définit alors un automorphisme u, de F compatible avec les opérations de G, d'où un automorphisme ü, de E ; le groupe H opère à droite
sur E par (y, h) ++ ü,(y).
6.5.6. Soit A = (P, G, B, A) une fibration principale, et soit E un espace
FIBRATIONS
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F muni d'une structure s d'espèce quelconque C (cf. Ens., chap. IV, 5 1,
no 4) et supposons que s soit invariante par G ; il existe alors sur F, une
structure s, d'espèce C et une seule telle que les ' O, : F -, F, soient des
isomorphismes; on l'obtient en transportant s au moyen de l'un des O,
(loc. cit., no 5).
Si s est une section de P au-dessus d'un ouvert U de B, l'application
(b, f ) H s(b) . f est un isomorphisme de U x F sur nË '(U).
6.5.3. Exemples :
(a) Soit A = (B x G, B, pr,), soit E = B x F, et soit
p:(B x G) x F + E
l'application (b, g, f )- (b, g . f). On obtient ainsi sur B x F une structure
d'espace fibré associé à A de fibre type F, qui est dite triviale.
(b) Soient A = (P, G, B, n) et Â' = (Pt, Gr, B', n') deux fibrations
principales. Soit F (resp. F') une variété sur laquelle G (resp. G') opère
à gauche; et soit E (resp. E') un espace fibré associé à A (resp. à A' )
de fibre type F (resp. F'). Le groupe G x G' opère sur F x F' par
(9. g') . (fi f") = Cp . f; g' . f '). L'application (P x P') x (F x F') - + E x E'
produit des applications repères P x F + E et P' x F' + Et munit
E x E' d'une structure d'espacefibré associé à A x A' defibre type F x F'.
(c) Avec les notations de (b), si l'on suppose que B' = B, on définit de
même sur E x , E' une structure d'espace jibré associé à A x , i' de fibre
type F x F'.
6.5.4. Les notations étant celles du no 6.5.1, soit h : B' -+ B un morphisme,
soit Â' = B' x , A, et soit E' = E' x , E. Si P' = B' x , P, définissons
une application P' x F -, E' en posant (b', x) . f = (b', x . f ) ; on munit
ainsi E' d'une structure d'espacefibré associé a A' de jibre type F ; on
l'appelle l'image réciproque par h de la structure donnée sur E.
6.5.5. Soit  = (P, G, B, A) une fibration principale, et soit E (resp. E')
un espace fibré associé à Â de fibre type F (resp. F'). Soit u : F -, F' un
morphisme compatible avec les opérations de G (c'est-à-dire tel que
u(g . f ) = g . u( f ) pour f E F, g E G). Il existe alors un morphisme ü : E + E'
et un seul tel que l'on ait ii(x . f) = x . u( f ) pour x E P, f E F. Si u est une
immersion (resp. une submersion, une subimrnersion), il en est de même de ii.
En particulier, supposons qu'une variété de groupe H opère à droite sur
F de telle sorte que g . (f. h) = (g . f ) . h pour g E G, f E F, h E H. Tout
h E H définit alors un automorphisme u, de F compatible avec les opérations de G, d'où un automorphisme ü, de E ; le groupe H opère à droite
sur E par (y, h) ++ ü,(y).
6.5.6. Soit A = (P, G, B, A) une fibration principale, et soit E un espace