les cocycles g et g' soient cohomologues. Plus précisément, pour tout
G-B-isomorphisme f de  sur A' , il existe une famille
de morphismes des Ui dans G et une seule telle que la relation (3) soit satisfaite
et que I'on ait f c (s:(x)) = si(x) . hi(x) pour tout i E 1 et tout x E Ui, et I'on
obtient ainsi une bijection de l'ensemble des G-B-isomorphismes de A sur
1' sur l'ensemble des familles (hi),,, satisfaisant à (3).
6.4.5. Reprenons les notations de 6.4.2. et soit .Sr = (V,),,, un recouvrement
ouvert plus fin que le recouvrement ouvert 42. Soit .r : A -+ 1 une application telle que Va c UT,,, pour tout cr E A. Soit s; la restriction à Va de
la section sT(,, et soit g' =
le cocycle subordonné au recouvrement
ouvert Y' associé à (2, V ' , (sk)). La fonction de transition g k p est alors la
restriction à Va n VB de la fonction de transition
6.5. Espaces fibrés associés à une fibration principale
6.5.1. Soit  = (P, G, B, x) une fibration principale. Soit F une variété sur
laquelle le groupe G opère à gauche ; on note (g, y)- g . y la loi d'opération de G sur F. Le groupe G opère à droite sur P x F par la formule
(x, f ) . g = (x . g, g - ' . f ) ; la relation d'équivalence définie par G dans
P x F est régulière; le quotient P x F = (P x F)/G est muni d'une
structure de variété.
Soit E une variété. On dit que E est muni d'une structure d'espace
fibré associé à A de fibre type F lorsqu'on s'est d ~ n n é un morphisme
p : P x F - , E jouissant de la propriété suivante:
(As) O n a p(x . g, g- 'f) = p(x, f ) pour x E P, f é F, g CE G, et I'application p : P x F -+ E déduite de p par passage au quotient est un isomorphisme de variétés.
11 revient au même de dire que (P x F, G, E, p) est une fibration principale. L'application p (ou parfois l'application P ) est appelée l'application
repère de E, et notée (x, f ) - x .fi on a
(x.g). f = x.(g. f),
pour x ~ P , g e G et ~ E F .
La donnée de À et de F détermine E à un isomorphisme unique près ;
en particulier, on peut prendre pour E la variété P x G~ elle-même ; on
dit que c'est l'espace$bré associé à A de fibre type F, et on le note À(F).
6.5.2. Soit E un espace fibré associé à Â et de fibre type F. Il existe un
morphisme unique n, de E dans B tel que nE(x. f ) = ~ ( x )
si XEP, f é F ;
le triplet (E, B, nE) est une fibration; si B et F sont séparés, E est séparé.
Soit b é B, et soit Fb = nË '(b); c'est une sous-variété fermée de E. Si
x E P est tel que w(x) = b, soit 8, : F - , Fb l'application définie par O, ( f ) =
x . f ; c'est un isomorphisme de variétés. De plus, pour tout g é G, on a
O, , = 8, 0 p,, où p, désigne l'automorphisme f - g . f de F. Supposons
G-B-isomorphisme f de  sur A' , il existe une famille
de morphismes des Ui dans G et une seule telle que la relation (3) soit satisfaite
et que I'on ait f c (s:(x)) = si(x) . hi(x) pour tout i E 1 et tout x E Ui, et I'on
obtient ainsi une bijection de l'ensemble des G-B-isomorphismes de A sur
1' sur l'ensemble des familles (hi),,, satisfaisant à (3).
6.4.5. Reprenons les notations de 6.4.2. et soit .Sr = (V,),,, un recouvrement
ouvert plus fin que le recouvrement ouvert 42. Soit .r : A -+ 1 une application telle que Va c UT,,, pour tout cr E A. Soit s; la restriction à Va de
la section sT(,, et soit g' =
le cocycle subordonné au recouvrement
ouvert Y' associé à (2, V ' , (sk)). La fonction de transition g k p est alors la
restriction à Va n VB de la fonction de transition
6.5. Espaces fibrés associés à une fibration principale
6.5.1. Soit  = (P, G, B, x) une fibration principale. Soit F une variété sur
laquelle le groupe G opère à gauche ; on note (g, y)- g . y la loi d'opération de G sur F. Le groupe G opère à droite sur P x F par la formule
(x, f ) . g = (x . g, g - ' . f ) ; la relation d'équivalence définie par G dans
P x F est régulière; le quotient P x F = (P x F)/G est muni d'une
structure de variété.
Soit E une variété. On dit que E est muni d'une structure d'espace
fibré associé à A de fibre type F lorsqu'on s'est d ~ n n é un morphisme
p : P x F - , E jouissant de la propriété suivante:
(As) O n a p(x . g, g- 'f) = p(x, f ) pour x E P, f é F, g CE G, et I'application p : P x F -+ E déduite de p par passage au quotient est un isomorphisme de variétés.
11 revient au même de dire que (P x F, G, E, p) est une fibration principale. L'application p (ou parfois l'application P ) est appelée l'application
repère de E, et notée (x, f ) - x .fi on a
(x.g). f = x.(g. f),
pour x ~ P , g e G et ~ E F .
La donnée de À et de F détermine E à un isomorphisme unique près ;
en particulier, on peut prendre pour E la variété P x G~ elle-même ; on
dit que c'est l'espace$bré associé à A de fibre type F, et on le note À(F).
6.5.2. Soit E un espace fibré associé à Â et de fibre type F. Il existe un
morphisme unique n, de E dans B tel que nE(x. f ) = ~ ( x )
si XEP, f é F ;
le triplet (E, B, nE) est une fibration; si B et F sont séparés, E est séparé.
Soit b é B, et soit Fb = nË '(b); c'est une sous-variété fermée de E. Si
x E P est tel que w(x) = b, soit 8, : F - , Fb l'application définie par O, ( f ) =
x . f ; c'est un isomorphisme de variétés. De plus, pour tout g é G, on a
O, , = 8, 0 p,, où p, désigne l'automorphisme f - g . f de F. Supposons