no 6.4
FIBRATIONS
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6.4. Construction defibrations principales au moyen de cocycles
Soient B une variété, G une variété de groupe et soit 4 = (Ui)iEI un
recouvrement ouvert de B.
6.4.1. On appelle cocycle de classe Cr sur B à valeurs dans G, subordonné
à 4, une famille (gi,j)ci,j,,I 1 possédant les deux propriétés suivantes :
(1) pour tout couple (i, j) E 1 x 1, gi,j est une application de classe
C' de l'ouvert U i n U j de B dans G ;
(2) pour tout triplet (i, j, k) E 13, on a
giVk ( x ) = gi,,(x) . gjVk(x) pour tout x E U i n U j n U k .
On dit que deux tels cocycles (giVj) et (g;,j) sont cohomologues s'il
existe une famille (hi)i,, où, pour tout i E 1, hi est une application de classe
C' de U i dans G, telle que:
(3)
g ; , ( ~ ) = h ~ ( x ) - ' . g ~ , ~ ( x ) . h , ( x )
pourtout X E U ~ ~ U , .
6.4.2. Soit A = (P, G, B, n) une fibration principale. Donnons-nous pour
tout i~ 1 une section si de A au dessus de U i (6.3.3). Pour tout couple
(i, j) E 12, il existe alors un morphisme et un seul gi,j de U i n U , dans G
tel que :
(4)
sj(b) = si(b). girj(b) pour tout b E U i n U j .
La famille des g , , est un cocycle sur B à valeurs dans G, subordonné
au recouvrement ouvert %. Ce cocycle est dit associé à l'objet (A, %,(si)iEI)
et les applications g,, sont appelées les fonctions de transition de cet objet.
Pour i E 1, soit x H ( ~ ( x ) ,
1;: (x)) la trivialisation définie par la section
si de LIUi (6.3.2). Pour x E n-'(U, n U,), on a :
6.4.3. Inversement, soit g = (g,,,) un cocycle sur B à valeurs dans G,
subordonné au recouvrement 42. Il existe alors une fibration principale
A = (P, G, B, n) et une famille de sections
de Â. au-dessus des U i ,
telles que la relation (4) soit satisfaite. Il en est alors de même de (5). Si de
plus (A', (sf)) satisfait aux mêmes conditions, il existe un G-B-isomorphisme
unique f de A sur A' tel que. s f = f a si pour tout i E 1. On exprime ce
résultat en disant que (A, (si)) est déterminé à un isomorphisme unique près par
le cocycle g.
6.4.4. Soient A = (P, G, B, n) et A' = (Pr, G, B, n') deux fibrations principales. Soient (si) (resp. (si)) une famille de sections de A (resp. A') au
dessus des U i et soit g (resp. g') le cocycle associé à (4 %, (si)) (resp.
(A', &, (si)). Pour que Â' et 2' soient G-B-isomorphes, il faut et il suffit que
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6.4. Construction defibrations principales au moyen de cocycles
Soient B une variété, G une variété de groupe et soit 4 = (Ui)iEI un
recouvrement ouvert de B.
6.4.1. On appelle cocycle de classe Cr sur B à valeurs dans G, subordonné
à 4, une famille (gi,j)ci,j,,I 1 possédant les deux propriétés suivantes :
(1) pour tout couple (i, j) E 1 x 1, gi,j est une application de classe
C' de l'ouvert U i n U j de B dans G ;
(2) pour tout triplet (i, j, k) E 13, on a
giVk ( x ) = gi,,(x) . gjVk(x) pour tout x E U i n U j n U k .
On dit que deux tels cocycles (giVj) et (g;,j) sont cohomologues s'il
existe une famille (hi)i,, où, pour tout i E 1, hi est une application de classe
C' de U i dans G, telle que:
(3)
g ; , ( ~ ) = h ~ ( x ) - ' . g ~ , ~ ( x ) . h , ( x )
pourtout X E U ~ ~ U , .
6.4.2. Soit A = (P, G, B, n) une fibration principale. Donnons-nous pour
tout i~ 1 une section si de A au dessus de U i (6.3.3). Pour tout couple
(i, j) E 12, il existe alors un morphisme et un seul gi,j de U i n U , dans G
tel que :
(4)
sj(b) = si(b). girj(b) pour tout b E U i n U j .
La famille des g , , est un cocycle sur B à valeurs dans G, subordonné
au recouvrement ouvert %. Ce cocycle est dit associé à l'objet (A, %,(si)iEI)
et les applications g,, sont appelées les fonctions de transition de cet objet.
Pour i E 1, soit x H ( ~ ( x ) ,
1;: (x)) la trivialisation définie par la section
si de LIUi (6.3.2). Pour x E n-'(U, n U,), on a :
6.4.3. Inversement, soit g = (g,,,) un cocycle sur B à valeurs dans G,
subordonné au recouvrement 42. Il existe alors une fibration principale
A = (P, G, B, n) et une famille de sections
de Â. au-dessus des U i ,
telles que la relation (4) soit satisfaite. Il en est alors de même de (5). Si de
plus (A', (sf)) satisfait aux mêmes conditions, il existe un G-B-isomorphisme
unique f de A sur A' tel que. s f = f a si pour tout i E 1. On exprime ce
résultat en disant que (A, (si)) est déterminé à un isomorphisme unique près par
le cocycle g.
6.4.4. Soient A = (P, G, B, n) et A' = (Pr, G, B, n') deux fibrations principales. Soient (si) (resp. (si)) une famille de sections de A (resp. A') au
dessus des U i et soit g (resp. g') le cocycle associé à (4 %, (si)) (resp.
(A', &, (si)). Pour que Â' et 2' soient G-B-isomorphes, il faut et il suffit que