pour x E P, g~ G. On notera que f détermine h ; on dira souvent que
(f, cp), ou même simplement f, est un morphisme.
Lorsque B = B' et h = Id, (resp. lorsque G = G' et cp = Id,),
un morphisme est appelé un B-morphisme compatible avec cp (resp. un
G-morphisme compatible avec h). Un morphisme qui est à la fois un Bmorphisme et un G-morphisme est appelé un G-B-morphisme (ici encore,
on dit souvent morphisme lorsqu'il ne *ut y avoir de confusion). Tout
G-B-morphisme f : P -, P' est un isomorphisme de la variété P sur la
variété P' ; l'isomorphisme réciproque f - ' est un G-B-morphisme :
f est un G-B-isomorphisme de P sur P'.
Deux espaces fibrés principaux P et P' de même base B et de même
groupe structural G sont dits G-B-isomorphes (ou simplement isomorphes)
s'il existe un G-B-isomorphisme de P sur P'.
6.3.2. La fibration principale (B x G, G, B, pr,) est appelée la fibration
principale triviale de base B et de groupe structural G. Un isomorphisme
d'une fibration principale A = (P, G, B, z) sur la fibration principale triviale
de base B et de groupe structural G est appelé une triuialisation de A.
Toute section s de  définit une trivialisation f, de À par la formule:
f; '(b, g) = s(b). g
pour b 6 B et g E G.
On obtient ainsi une bijection de l'ensemble des sections de À sur I'ensernble
des triviahatidns de 2. De plus, si s, est une section de 2, toute section s
de  s'écrit de manière unique sous la forme s(b) = s,(b) . r(b), où r : B -+ G
est un morphisme.
6.3.3. Soit A = (P, G, B, 71) une fibration principale, et soit h : B' -+ B
un morphisme. Soit n' (resp. h') le morphisme canonique de B' x , P
dans B' (resp. dans P). Faisons opérer G sur B' x , P par la formule
(b', X) . g = (b', x . g),
(b', X) E B' x P,
g E G.
Le quadruplet (B' x , P, G, B', x'j est une fibration principale, appelée
l'image réciproque de  par h, et notée B' x,  ou encore h*Â. L'application h' : B' x, P -+ P est un G-morphisme compatible avec h ; il jouit de
la propriété universelle suivante: si f est un G-morphisme compatible
avec h d'me fibration principale A' de base B' dans la fibration A, il
existe un G-BI-isomorphisme unique k : Â' -+ B' x , Â tel que f = h' 0 k.
Lorsque B' est une sous-variété de B, et h l'injection canonique
de B' dans B, B' x, P s'identifie à la sous-variété n-'(B') de P ; on
l'appelle l'espace$bré principal induit par P au-dessus de BI, et on le note
n- (B'), ou encore PIB'. Tout x E V a un voisinage ouvert U tel que
PI U soit trivial.
(f, cp), ou même simplement f, est un morphisme.
Lorsque B = B' et h = Id, (resp. lorsque G = G' et cp = Id,),
un morphisme est appelé un B-morphisme compatible avec cp (resp. un
G-morphisme compatible avec h). Un morphisme qui est à la fois un Bmorphisme et un G-morphisme est appelé un G-B-morphisme (ici encore,
on dit souvent morphisme lorsqu'il ne *ut y avoir de confusion). Tout
G-B-morphisme f : P -, P' est un isomorphisme de la variété P sur la
variété P' ; l'isomorphisme réciproque f - ' est un G-B-morphisme :
f est un G-B-isomorphisme de P sur P'.
Deux espaces fibrés principaux P et P' de même base B et de même
groupe structural G sont dits G-B-isomorphes (ou simplement isomorphes)
s'il existe un G-B-isomorphisme de P sur P'.
6.3.2. La fibration principale (B x G, G, B, pr,) est appelée la fibration
principale triviale de base B et de groupe structural G. Un isomorphisme
d'une fibration principale A = (P, G, B, z) sur la fibration principale triviale
de base B et de groupe structural G est appelé une triuialisation de A.
Toute section s de  définit une trivialisation f, de À par la formule:
f; '(b, g) = s(b). g
pour b 6 B et g E G.
On obtient ainsi une bijection de l'ensemble des sections de À sur I'ensernble
des triviahatidns de 2. De plus, si s, est une section de 2, toute section s
de  s'écrit de manière unique sous la forme s(b) = s,(b) . r(b), où r : B -+ G
est un morphisme.
6.3.3. Soit A = (P, G, B, 71) une fibration principale, et soit h : B' -+ B
un morphisme. Soit n' (resp. h') le morphisme canonique de B' x , P
dans B' (resp. dans P). Faisons opérer G sur B' x , P par la formule
(b', X) . g = (b', x . g),
(b', X) E B' x P,
g E G.
Le quadruplet (B' x , P, G, B', x'j est une fibration principale, appelée
l'image réciproque de  par h, et notée B' x,  ou encore h*Â. L'application h' : B' x, P -+ P est un G-morphisme compatible avec h ; il jouit de
la propriété universelle suivante: si f est un G-morphisme compatible
avec h d'me fibration principale A' de base B' dans la fibration A, il
existe un G-BI-isomorphisme unique k : Â' -+ B' x , Â tel que f = h' 0 k.
Lorsque B' est une sous-variété de B, et h l'injection canonique
de B' dans B, B' x, P s'identifie à la sous-variété n-'(B') de P ; on
l'appelle l'espace$bré principal induit par P au-dessus de BI, et on le note
n- (B'), ou encore PIB'. Tout x E V a un voisinage ouvert U tel que
PI U soit trivial.