6.2.3. Inversement, soit G une variété de groupe, et soit P une variété
sur laquelle G opère à droite de façon à vérifier les deux conditions suivantes :
(a) G opère proprement et librement sur P.
(b) Pour tout x E P, l'application g H x . g est une immersion de G
dans P.
Alors la relation d'équivalence définie par G dans P est régulière;
si l'on note P/G la variété quotient, et n la projection canonique de P
sur P/G, le quadruplet (P, G, P/G, n) est une fibration principale.
Lorsque K est de caractéristique O et que P est de dimension finie,
la condition (b) ci-dessus est conséquence de la condition (a).
6.2.4. Les conditions du no précédent sont vérifiées dans les deux cas suivants :
(a) P est une variété de groupe et G une sous-variété de groupe opérant
sur P par les translations à droite ; la base de la fibration principale ainsi
obtenue est l'espace homogène P/G.
(b) G est un groupe discret opérant proprement et librement sur P.
La projection n : P + P/G est alors un morphisme étale (no 5.7.6).
6.2.5. Exemples :
(a) Soit B une variété et soit G une variété de groupe. Faisons opérer
G sur B x G par (b, g) . g' = (b, gg'). Le quadruplet (B x G, G, B, pr,)
est une fibration principale.
(b) Soient I = (P, G, B, n) et A' = (P', G', B', n') deux fibrations principales. Faisons opérer G x G' sur P x P' par la formule:
(x,xf).(g,g') = (x.g,x'.gf),
X E P , ~ ' E P ' , ~ E G , ~ ' E G ' .
Le quadruplet À x A' = (P x Pt, G x Gr, B x 'BI, n x n') est une fibration
principale ; on l'appelle le produit de 1. et de A' .
(c) Soient  = (P, G, B, n) et A' = (P', G', B, x') deux fibrations principales de même base. La sous-variété P x , P' de P x P' est stable pour
les opérations de G x G', et le quadruplet
A x , A' = (P x , P', G x G', B, .rr x , x')
est une fibration principale; on l'appelle le produit de À et de À. ' au-dessus
de B, ou encore le produit3bré de  et de A'.
6.3. Morphismes de Jibrations principales
6.3.1. Soient A = (P, G, B, n) et A' = (P', G', Bi, d) deux fibrations principales. On appelle morphisme de A. dans A' tout triplet (f; cp, h), où
f : P -+ P' et h : B + B' sont des morphismes, cp : G -+ G' est un homomorphisme de variétés de groupes, et où x' of = h 0 n et f (x . g) = f (x) . cp(g)
sur laquelle G opère à droite de façon à vérifier les deux conditions suivantes :
(a) G opère proprement et librement sur P.
(b) Pour tout x E P, l'application g H x . g est une immersion de G
dans P.
Alors la relation d'équivalence définie par G dans P est régulière;
si l'on note P/G la variété quotient, et n la projection canonique de P
sur P/G, le quadruplet (P, G, P/G, n) est une fibration principale.
Lorsque K est de caractéristique O et que P est de dimension finie,
la condition (b) ci-dessus est conséquence de la condition (a).
6.2.4. Les conditions du no précédent sont vérifiées dans les deux cas suivants :
(a) P est une variété de groupe et G une sous-variété de groupe opérant
sur P par les translations à droite ; la base de la fibration principale ainsi
obtenue est l'espace homogène P/G.
(b) G est un groupe discret opérant proprement et librement sur P.
La projection n : P + P/G est alors un morphisme étale (no 5.7.6).
6.2.5. Exemples :
(a) Soit B une variété et soit G une variété de groupe. Faisons opérer
G sur B x G par (b, g) . g' = (b, gg'). Le quadruplet (B x G, G, B, pr,)
est une fibration principale.
(b) Soient I = (P, G, B, n) et A' = (P', G', B', n') deux fibrations principales. Faisons opérer G x G' sur P x P' par la formule:
(x,xf).(g,g') = (x.g,x'.gf),
X E P , ~ ' E P ' , ~ E G , ~ ' E G ' .
Le quadruplet À x A' = (P x Pt, G x Gr, B x 'BI, n x n') est une fibration
principale ; on l'appelle le produit de 1. et de A' .
(c) Soient  = (P, G, B, n) et A' = (P', G', B, x') deux fibrations principales de même base. La sous-variété P x , P' de P x P' est stable pour
les opérations de G x G', et le quadruplet
A x , A' = (P x , P', G x G', B, .rr x , x')
est une fibration principale; on l'appelle le produit de À et de À. ' au-dessus
de B, ou encore le produit3bré de  et de A'.
6.3. Morphismes de Jibrations principales
6.3.1. Soient A = (P, G, B, n) et A' = (P', G', Bi, d) deux fibrations principales. On appelle morphisme de A. dans A' tout triplet (f; cp, h), où
f : P -+ P' et h : B + B' sont des morphismes, cp : G -+ G' est un homomorphisme de variétés de groupes, et où x' of = h 0 n et f (x . g) = f (x) . cp(g)