6.1.4. La fibration (B x F, B, pr,) est appelée la fibration triviale de base
B et de fibre F. Un isomorphisme d'une fibration À sur une fibration
triviale s'appelle une trivialisation de Â.
6.1.5. Soit A = (X, B, a) une fibration, et soit f : B' - , B un morphisme.
Soit a' le morphisme canonique de B' x , X dans B'. Le triplet
(B' x , X, B', a') est une fibration, appelée l'image réciproque de A par f '
ou la fibration déduite de A par changement de base de B à B' suivant f,
et notée B' x , A, ou encore f *A. Si f ' désigne l'application canonique
de B' x , X dans X, le couple (f; f ') est un morphisme de B' x , À dans
Â; il jouit de la propriété universelle suivante : si (f, g) est un morphisme
d'une fibration A' de base B' dans la fibration A, il existe un BI-morphisme
unique cp:À1+B' x, Â telque (Jg) = (f, ff)ocp.
Lorsque B' est une sous-variété de B, et f l'injection canonique de
B' dans B, B' x, X s'identifie à la sous-variété a-'(B') de X, et n'
s'identifie à la restriction de a à z-'(B'); l'image réciproque de A par f
est alors appelée laJibrution induite par A sur B'.
6.1.6. Si A = (X, B, a) est une fibration, on appelle section morphique (ou
simplement section) de À tout morphisme s : B - + X tel que n o s = Id,.
6.2. Fibrations principales
6.2.1. Soient B une variété et G une variété de groupe. On appelle
fibration principale de base B et de groupe structural G un quadruplet
A = (P, G, B,a) où P est une variété sur laquelle G opère à droite
par (x, g) w x . g (cf. no 5.12.5), et où a est un morphisme de P dans B,
ces données étant assujetties à vérifier l'axiome suivant:
(P) Pour tout b é B il existe un voisinage ouvert U de b et un isomorphisme f : U x G - , a-'(U) tels que l'on ait
a( f (u, g)) = u et f (u, gg') = f (y g) . g' si u é U et g, g' é G.
6.2.2. Soit I = (P, G, B, a) une fibration principale. Le triplet (P, B, R)
est une fibration ; on a x(P) = B. La relation d'équivalence R définie par
n dans P coïncide avec celle définie par G ; son graphe n'est autre que
le produit P x , P (cf. no 5.1 1.2) ; c'est une sous-variété de P x P. L'application (x, g) H (x, x . g) est un isomorphisme de P x G sur P x , P ;
I'application qui fait correspondre à tout (x, y) E P x , P l'unique élément
g é G tel que y = x . g est un morphisme de P x , P dans G.
Le groupe G opère proprement et librement sur P (cf. Top. Gén., chap.
III, 3' éd., 4). Si x rz P et si b = n(x), l'application g +-+ x . g est un
isomorphisme de la variété G sur la$bre de b.
B et de fibre F. Un isomorphisme d'une fibration À sur une fibration
triviale s'appelle une trivialisation de Â.
6.1.5. Soit A = (X, B, a) une fibration, et soit f : B' - , B un morphisme.
Soit a' le morphisme canonique de B' x , X dans B'. Le triplet
(B' x , X, B', a') est une fibration, appelée l'image réciproque de A par f '
ou la fibration déduite de A par changement de base de B à B' suivant f,
et notée B' x , A, ou encore f *A. Si f ' désigne l'application canonique
de B' x , X dans X, le couple (f; f ') est un morphisme de B' x , À dans
Â; il jouit de la propriété universelle suivante : si (f, g) est un morphisme
d'une fibration A' de base B' dans la fibration A, il existe un BI-morphisme
unique cp:À1+B' x, Â telque (Jg) = (f, ff)ocp.
Lorsque B' est une sous-variété de B, et f l'injection canonique de
B' dans B, B' x, X s'identifie à la sous-variété a-'(B') de X, et n'
s'identifie à la restriction de a à z-'(B'); l'image réciproque de A par f
est alors appelée laJibrution induite par A sur B'.
6.1.6. Si A = (X, B, a) est une fibration, on appelle section morphique (ou
simplement section) de À tout morphisme s : B - + X tel que n o s = Id,.
6.2. Fibrations principales
6.2.1. Soient B une variété et G une variété de groupe. On appelle
fibration principale de base B et de groupe structural G un quadruplet
A = (P, G, B,a) où P est une variété sur laquelle G opère à droite
par (x, g) w x . g (cf. no 5.12.5), et où a est un morphisme de P dans B,
ces données étant assujetties à vérifier l'axiome suivant:
(P) Pour tout b é B il existe un voisinage ouvert U de b et un isomorphisme f : U x G - , a-'(U) tels que l'on ait
a( f (u, g)) = u et f (u, gg') = f (y g) . g' si u é U et g, g' é G.
6.2.2. Soit I = (P, G, B, a) une fibration principale. Le triplet (P, B, R)
est une fibration ; on a x(P) = B. La relation d'équivalence R définie par
n dans P coïncide avec celle définie par G ; son graphe n'est autre que
le produit P x , P (cf. no 5.1 1.2) ; c'est une sous-variété de P x P. L'application (x, g) H (x, x . g) est un isomorphisme de P x G sur P x , P ;
I'application qui fait correspondre à tout (x, y) E P x , P l'unique élément
g é G tel que y = x . g est un morphisme de P x , P dans G.
Le groupe G opère proprement et librement sur P (cf. Top. Gén., chap.
III, 3' éd., 4). Si x rz P et si b = n(x), l'application g +-+ x . g est un
isomorphisme de la variété G sur la$bre de b.