FIBRATIONS
§ 6. Fibrations '
6.1. Fibrations
6.1.1. On appelle fibration de classe C', ou simplement fibration, un triplet (X, B, n) où B et X sont des variétés de classe C' et n un morphisme
de X dans B, jouissant de la propriété suivante :
(F) Pour tout x E B, il existe un voisinage ouvert U de x, une variété
F, et un isomorphisme q de n-'(U) sur U x F tel que n(q- '(x, y)) = x
pour tout x E U et tout y E F.
Si  = (X, B, n) est une fibration, on appelle X i'espace de A, B la
base de A, et n la projection de Â. L'application n est une submersion;
en particulier n(X) est ouvert dans B, et si R désigne la relation d'équivalence définie par n dans X, l'application canonique de X/R dans n(X)
est un isomorphisme. Pour tout x E B, l'image réciproque n-'(x) est une
sous-variété fermée de X, appelée lafibre de x, et notée X,.
6.1.2. Exemples :
(a) Si B et F sont deux variétés, le triplet (B x F, B,pr,) est une
fibration dont les fibres sont canoniquement isomorphes a F.
(b) Si A = (X, B, a) et A' = (X', B', n') sont des fibrations,
A x A' = (X x X', B x B', n x a')
est une fibration ; on l'appelle le produit de  et de A'.
(c) Si  = (X, B, n) et A' = (X', B, n') sont des fibrstions de même
base, A x , 2' = (X x , Xf, B, n x , sr') est une fibration; on l'appelle le
produit de A et de A' au-dessus de B, ou encore le produilfibré de  et
de A'.
6.1.3. Soient i l = (X, B, n) et A' = (X', B', n') deux fibrations. On' appelle
morphisme de  dans A' tout couple (Ag), où f est un morphisme de B
dans B', et g un morphisme de X dans X', tel que n' O g = f 0 n. Lorsque
B = B' et f = Id,, on dit que g est un B-morphisme de A dans A'; si
g est un isomorphisme de X sur X', g-' est un B-morphisme de Â' dans
A, et l'on dit que g est un B-isomorphisme de  sur 2'; pour qu'il en
soit ainsi, il faut et il suffit que, pour tout x E B, l'application g , : X, -, Xx
induite par g soit un isomorphisme.
' Les définitions et la plus grande partie des résultats des $8 6 et 7 s'appliquent aussi à la
catégorie des espaces topologiques ; on doit alors remplacer les mots « variétés D, « sous-variétés B,
« morphismes » et « variétés de groupes » par «espaces topologiques », « sous-espaces topologiques D, «applications continues » et « groupes topologiques ». Font exception les résultats
concernant les immersions, submersions, et relations d'équivalence régulières, ainsi que ceux
des no" 6.2.3 et 6.2.4 (a).
§ 6. Fibrations '
6.1. Fibrations
6.1.1. On appelle fibration de classe C', ou simplement fibration, un triplet (X, B, n) où B et X sont des variétés de classe C' et n un morphisme
de X dans B, jouissant de la propriété suivante :
(F) Pour tout x E B, il existe un voisinage ouvert U de x, une variété
F, et un isomorphisme q de n-'(U) sur U x F tel que n(q- '(x, y)) = x
pour tout x E U et tout y E F.
Si  = (X, B, n) est une fibration, on appelle X i'espace de A, B la
base de A, et n la projection de Â. L'application n est une submersion;
en particulier n(X) est ouvert dans B, et si R désigne la relation d'équivalence définie par n dans X, l'application canonique de X/R dans n(X)
est un isomorphisme. Pour tout x E B, l'image réciproque n-'(x) est une
sous-variété fermée de X, appelée lafibre de x, et notée X,.
6.1.2. Exemples :
(a) Si B et F sont deux variétés, le triplet (B x F, B,pr,) est une
fibration dont les fibres sont canoniquement isomorphes a F.
(b) Si A = (X, B, a) et A' = (X', B', n') sont des fibrations,
A x A' = (X x X', B x B', n x a')
est une fibration ; on l'appelle le produit de  et de A'.
(c) Si  = (X, B, n) et A' = (X', B, n') sont des fibrstions de même
base, A x , 2' = (X x , Xf, B, n x , sr') est une fibration; on l'appelle le
produit de A et de A' au-dessus de B, ou encore le produilfibré de  et
de A'.
6.1.3. Soient i l = (X, B, n) et A' = (X', B', n') deux fibrations. On' appelle
morphisme de  dans A' tout couple (Ag), où f est un morphisme de B
dans B', et g un morphisme de X dans X', tel que n' O g = f 0 n. Lorsque
B = B' et f = Id,, on dit que g est un B-morphisme de A dans A'; si
g est un isomorphisme de X sur X', g-' est un B-morphisme de Â' dans
A, et l'on dit que g est un B-isomorphisme de  sur 2'; pour qu'il en
soit ainsi, il faut et il suffit que, pour tout x E B, l'application g , : X, -, Xx
induite par g soit un isomorphisme.
' Les définitions et la plus grande partie des résultats des $8 6 et 7 s'appliquent aussi à la
catégorie des espaces topologiques ; on doit alors remplacer les mots « variétés D, « sous-variétés B,
« morphismes » et « variétés de groupes » par «espaces topologiques », « sous-espaces topologiques D, «applications continues » et « groupes topologiques ». Font exception les résultats
concernant les immersions, submersions, et relations d'équivalence régulières, ainsi que ceux
des no" 6.2.3 et 6.2.4 (a).