Lorsque K = R, L = C (cas (a) du no 5.14.2), on a un résultat plus
précis : si X et Y sont de dimension finie et si f : X -r Y est une application
de classe Cl dont l'application tangente en tout point de x est C-linéaire,
alors f est analytique comnlexe.
5.14.7. Soient X une variété analytique complexe et g une application de
X dans elle-même satisfaisant aux conditions :
(i) O n a g o g = Id,.
(ii) L'application g est un isomorphisme de la variété analytique X
sur la variété conjuguée X (5.14.2).
L'ensemble X, des points x de X tels que g(x) = x est une sousvariété analytique fermée de la variété analytique réelle sous-jacente à X.
Pour x E X,, on a T,(X) = T,(X,) 0 iT,(X,).
Soit U un ouvert connexe de X et soient f et g deux applications
analytiques complexes de U dans un espace localement convexe séparé
complexe ou dans une variété analytique complexe séparée. Si f et g
coïncident sur une partie non vide de U n X , ouverte dans Xo, alors
f = g.
Supposons X, paracompacte. Si f est une application analytique
réelle de X, dans un espace localement convexe séparé ou dans une variété
analytique complexe séparée, il existe un voisinage ouvert U de X,
dans X et une application analytique complexe de U dans l'espace des
valeurs de f, prolongeant f. Deux tels prolongements coïncident sur un
voisinage de X, dans X.
Supposons X de dimension finie. Pour tout point a E X,, il existe un
système de coordonnées (complexes) Cl, - . . . , r" dans un voisinage ouvert
U de a, telles que r' og = r' pour 1 < i ,< n; la restriction 5' de Ci
à U n Xo est alors à valeurs réelles et ( t l , .
. . , c) est un système de coordonnées en a de la variété analytique réelle X,.
5.14.8. Pour toute variété analytique réelle Y, paracompacte, il existe un
couple (X, g) formé d'une variété analytique complexe X et d'une application g de X dans elle-même satisfaisant aux conditions (i) et (ii) de 5.14.7,
et un isomorphisme f de Y sur X,. On dit que X (munie de f et g)
est une complex$cation de Y.
précis : si X et Y sont de dimension finie et si f : X -r Y est une application
de classe Cl dont l'application tangente en tout point de x est C-linéaire,
alors f est analytique comnlexe.
5.14.7. Soient X une variété analytique complexe et g une application de
X dans elle-même satisfaisant aux conditions :
(i) O n a g o g = Id,.
(ii) L'application g est un isomorphisme de la variété analytique X
sur la variété conjuguée X (5.14.2).
L'ensemble X, des points x de X tels que g(x) = x est une sousvariété analytique fermée de la variété analytique réelle sous-jacente à X.
Pour x E X,, on a T,(X) = T,(X,) 0 iT,(X,).
Soit U un ouvert connexe de X et soient f et g deux applications
analytiques complexes de U dans un espace localement convexe séparé
complexe ou dans une variété analytique complexe séparée. Si f et g
coïncident sur une partie non vide de U n X , ouverte dans Xo, alors
f = g.
Supposons X, paracompacte. Si f est une application analytique
réelle de X, dans un espace localement convexe séparé ou dans une variété
analytique complexe séparée, il existe un voisinage ouvert U de X,
dans X et une application analytique complexe de U dans l'espace des
valeurs de f, prolongeant f. Deux tels prolongements coïncident sur un
voisinage de X, dans X.
Supposons X de dimension finie. Pour tout point a E X,, il existe un
système de coordonnées (complexes) Cl, - . . . , r" dans un voisinage ouvert
U de a, telles que r' og = r' pour 1 < i ,< n; la restriction 5' de Ci
à U n Xo est alors à valeurs réelles et ( t l , .
. . , c) est un système de coordonnées en a de la variété analytique réelle X,.
5.14.8. Pour toute variété analytique réelle Y, paracompacte, il existe un
couple (X, g) formé d'une variété analytique complexe X et d'une application g de X dans elle-même satisfaisant aux conditions (i) et (ii) de 5.14.7,
et un isomorphisme f de Y sur X,. On dit que X (munie de f et g)
est une complex$cation de Y.