une structure de variété analytique sur K et une seule pour laquelle c, est
une carte pour toute carte c de la variété Lanalytique X. On note X, la
variété analytique sur K ainsi obtenue et on dit que X, est obtenue à
partir de X par restriction des scalaires (de L à K au moyen de a).
L'espace topologique sous-jacent à Xe est le même que celui sous-jacent à X.
5.14.2. Exemples :
(a) On prend K = R, L = C, a étant l'injection canonique de R
dans C. Ainsi, toute variété analytique complexe est canoniquement munie
d'une structure de variété analytique réelle; cette structure analytique réelle
définit elle-même des structures différentielles de classe Cr pour tout r.
(b) On prend K = C, L = C, o étant la conjugaison x I+ X. On
associe ainsi a toute variété analytique complexe X une variété analytique
complexe X, appelée la conjuguée de X. Si f est une fonction à valeurs
complexes, définie sur un ouvert U de X, f est analytique pour la structure de X si et seulement si la fonction conjuguée f est analytique pour
la structure de X. Les variétés X .et X définissent par restriction des
scalaires la même variété analytique réelle.
5.14.3. Soient X une variété analytique sur K, 'Y une variété analytique
sur L. Une application f : X 4 Y est dite a-analytique si c'est un morphisme
de X dans Y,. Si K c L, o est l'injection de K dans L, et X est une
variété analytique sur L, on appelle application K-analytique une application a-analytique de X, dans Y.
5.14.4. Soit V un L-espace de Banach. On a V, = o,(V): la structure
canonique de variété analytique sur K de a,(V) se déduit par restriction
des scalaires de la structure canonique de variété analytique sur L de V.
5.14.5. Soit X une variété analytique sur L, et soit a E X. Soit c une
carte de X en a ; alors c, est une carte de X, en a et i'on en déduit des
d'où un isomorphisme 8, O o,(Bc)-' de o,(T,(X)) sur Ta@,); cet isomorphisme ne dépend pas du choix de c ; il permet d'identifier Ta(X,) à a,(Ta(X))
et même à Ta(X) par abus d'écriture.
Si f est une application analytique sur L de X dans une variété Y,
l'application linéaire tangente à f en a (f étant considérée comme un
morphisme de X, dans Y,) est égale à a,(T,( f )).
5.14.6. Soient X et Y deux variétés analytiques sur L, et soit f :X, --+ Y
une application a-analytique. Supposons que la caractéristique de K soit
O. Alors, pour que f soit analytique sur L, il faut et il suffit que, pour tout
a E X, l'application Ta( f ) soit L-linéaire.
une carte pour toute carte c de la variété Lanalytique X. On note X, la
variété analytique sur K ainsi obtenue et on dit que X, est obtenue à
partir de X par restriction des scalaires (de L à K au moyen de a).
L'espace topologique sous-jacent à Xe est le même que celui sous-jacent à X.
5.14.2. Exemples :
(a) On prend K = R, L = C, a étant l'injection canonique de R
dans C. Ainsi, toute variété analytique complexe est canoniquement munie
d'une structure de variété analytique réelle; cette structure analytique réelle
définit elle-même des structures différentielles de classe Cr pour tout r.
(b) On prend K = C, L = C, o étant la conjugaison x I+ X. On
associe ainsi a toute variété analytique complexe X une variété analytique
complexe X, appelée la conjuguée de X. Si f est une fonction à valeurs
complexes, définie sur un ouvert U de X, f est analytique pour la structure de X si et seulement si la fonction conjuguée f est analytique pour
la structure de X. Les variétés X .et X définissent par restriction des
scalaires la même variété analytique réelle.
5.14.3. Soient X une variété analytique sur K, 'Y une variété analytique
sur L. Une application f : X 4 Y est dite a-analytique si c'est un morphisme
de X dans Y,. Si K c L, o est l'injection de K dans L, et X est une
variété analytique sur L, on appelle application K-analytique une application a-analytique de X, dans Y.
5.14.4. Soit V un L-espace de Banach. On a V, = o,(V): la structure
canonique de variété analytique sur K de a,(V) se déduit par restriction
des scalaires de la structure canonique de variété analytique sur L de V.
5.14.5. Soit X une variété analytique sur L, et soit a E X. Soit c une
carte de X en a ; alors c, est une carte de X, en a et i'on en déduit des
d'où un isomorphisme 8, O o,(Bc)-' de o,(T,(X)) sur Ta@,); cet isomorphisme ne dépend pas du choix de c ; il permet d'identifier Ta(X,) à a,(Ta(X))
et même à Ta(X) par abus d'écriture.
Si f est une application analytique sur L de X dans une variété Y,
l'application linéaire tangente à f en a (f étant considérée comme un
morphisme de X, dans Y,) est égale à a,(T,( f )).
5.14.6. Soient X et Y deux variétés analytiques sur L, et soit f :X, --+ Y
une application a-analytique. Supposons que la caractéristique de K soit
O. Alors, pour que f soit analytique sur L, il faut et il suffit que, pour tout
a E X, l'application Ta( f ) soit L-linéaire.