5.13. A@Missement & structure
Dans tout ce no, les lettres r, s, r', s' désignent, soit des entiers 2 1,
soit l'un des symboles a et o. On suppose que K = R.
5.13.1. Soient r ,< s, et X une variété de classe C5 Il existe sur l'espace
topologique X une structure de variété de classe Cr et une seule telle que
toute carte de X pour la structure donnée soit une carte de X pour cette
nouvelle structure. Soit X, la variété de classe C' ainsi définie. On dit
qu'elle se déduit de X par affaiblissement de la structure de variété de X,
ou encore que sa structure de variété est sous-jacente à celle de X. La notion
d'affaiblissement est transitive : si r' < r, on a X,. = (X,), ; elle commute
aux produits: si Y est de classe Cs, on a (X x Y), = X, x Y,; on a un
résultat analogue pour X x, Y sous les hypothèses du no 5.11.2.
Soit a E X et soit c une carte de X en a ; c'est aussi une carte de X,
en a. On en déduit (5.5.1) des isomorphismes
d'où un isomorphisme 8 : 0 Of ' : T,(X) -+ T,(X,). Cet isomorphisme est
indépendant du choix de c ; il permet d'identijîer les espaces tangents à
X et à X, en a.
5.13.2. Soit X (resp. X') une variété de classe Cs (resp. Cs') et soit r
avec r ,< inf(s, s'). Une application f :X - , X' est dite de classe C' si
c'est un morphisme de X, dans Xi; une telle application est de classe
Cr' pour tout r' < r. De plus, l'application linéaire tangente à f : X, - , Xi
en un point a E X coïncide avec l'application linéaire tangente à f considérée comme morphisme de X,. dans X:, .
On désignera le plus souvent par le même symbole les variétés X et
X,; ainsi, si X est de classe C" l'expression «une sous-variété de X de
classe C' » (r < s) signifie « une sous-variété de X, ».
5.14. Restriction du corps de base
Dans ce numéro, on se donne deux corps commutatifs valués complets
non discrets K et L, ainsi qu'un isomorphisme a du corps valué K sur
un sous-corps de L. Si E est un espace de Banach sur L, on note o,(E)
l'espace vectoriel sur K obtenu par restriction des scalaires (cf. Alg., chap.
II, 3' éd., 5 8); la topologie donnée sur E est compatible avec la structure
de K-espace vectoriel, et o,(E) est un espace de Banach sur K.
5.14.1. Soit X une variété analytique sur L et soit c = (U, q, E) une
carte de X. L'application cp est une bijection de U sur un ouvert de
aJE) et le triplet c, = (U, cp, o,(E)) est une carte de X. Il existe sur X
Dans tout ce no, les lettres r, s, r', s' désignent, soit des entiers 2 1,
soit l'un des symboles a et o. On suppose que K = R.
5.13.1. Soient r ,< s, et X une variété de classe C5 Il existe sur l'espace
topologique X une structure de variété de classe Cr et une seule telle que
toute carte de X pour la structure donnée soit une carte de X pour cette
nouvelle structure. Soit X, la variété de classe C' ainsi définie. On dit
qu'elle se déduit de X par affaiblissement de la structure de variété de X,
ou encore que sa structure de variété est sous-jacente à celle de X. La notion
d'affaiblissement est transitive : si r' < r, on a X,. = (X,), ; elle commute
aux produits: si Y est de classe Cs, on a (X x Y), = X, x Y,; on a un
résultat analogue pour X x, Y sous les hypothèses du no 5.11.2.
Soit a E X et soit c une carte de X en a ; c'est aussi une carte de X,
en a. On en déduit (5.5.1) des isomorphismes
d'où un isomorphisme 8 : 0 Of ' : T,(X) -+ T,(X,). Cet isomorphisme est
indépendant du choix de c ; il permet d'identijîer les espaces tangents à
X et à X, en a.
5.13.2. Soit X (resp. X') une variété de classe Cs (resp. Cs') et soit r
avec r ,< inf(s, s'). Une application f :X - , X' est dite de classe C' si
c'est un morphisme de X, dans Xi; une telle application est de classe
Cr' pour tout r' < r. De plus, l'application linéaire tangente à f : X, - , Xi
en un point a E X coïncide avec l'application linéaire tangente à f considérée comme morphisme de X,. dans X:, .
On désignera le plus souvent par le même symbole les variétés X et
X,; ainsi, si X est de classe C" l'expression «une sous-variété de X de
classe C' » (r < s) signifie « une sous-variété de X, ».
5.14. Restriction du corps de base
Dans ce numéro, on se donne deux corps commutatifs valués complets
non discrets K et L, ainsi qu'un isomorphisme a du corps valué K sur
un sous-corps de L. Si E est un espace de Banach sur L, on note o,(E)
l'espace vectoriel sur K obtenu par restriction des scalaires (cf. Alg., chap.
II, 3' éd., 5 8); la topologie donnée sur E est compatible avec la structure
de K-espace vectoriel, et o,(E) est un espace de Banach sur K.
5.14.1. Soit X une variété analytique sur L et soit c = (U, q, E) une
carte de X. L'application cp est une bijection de U sur un ouvert de
aJE) et le triplet c, = (U, cp, o,(E)) est une carte de X. Il existe sur X