Y(E) des endomorphismes continus d'un espace de Banach E; le groupe
A* se compose des automorphismes de l'espace vectoriel topologique E ;
on note GL(E) la variété de groupe ainsi définie. Lorsque A = M,(K), on
obtient une structure de variété de groupe sur GL(n, K).
(iii) Si G,, . .; , G, sont des variétés de groupes, le groupe produit
G = G, x - x G, est une variété de groupe, lorsqu'on le munit de la
structure de variété produit de celles des Gi.
5.12.3. Soit G une variété de groupe, soit H un groupe topologique et
soit f : H -, G un homomorphisme continu vérifiant la condition (QR) du
no 5.8.1. La structure de variété image inverse de celle de G par f fait alors
de H une variété de groupe. Ceci s'applique notamment lorsque H est un
sous-groupe de G qui est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété); un tel
sous-groupe s'appelle une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de groupe de
G ; il est nécessairement fermé dans G.
Si Hi (i = 1,. . . , n) est une sous variété de groupe de G,, alors
H, x . . . x H, est une sous-variété de groupe de G , x - . . x G,.
5.12.4. Soit G une variété de groupe et soit H une sous-variété de groupe
de G. La relation d'équivalence x-'y E H est régulière, ce qui permet de
munir l'espace G/H des classes à gauche xH d'une structure de variété
dite quotient de celle de G. L'application canonique (g, x) ++ g . x de
G x (G/H) dans G/H est un morphisme. On a des résultats analogues
pour l'espace homogène H\G des classes à droite Hx. Si H est distingué,
la structure de variété de G/H est compatible avec sa structure de groupe.
5.12.5. Soit G une variété de groupe et soit X une variété. On appelle loi
d'opération .à gauche du groupe G dans la variété X tout morphisme
(s, x ) ~
sx de G x X dans X tel que
ex = x
si
x E X (e étant l'élément neutre de G).
On dit aussi que la variété de groupe G opère à gauche sur X ; on définit de
manière analogue les lois d'opération a droite.
Soit x E X et soit G, son stabilisateur dans G. Supposons que l'application g - g . x soit une subimmersion (hypothèse automatiquement vérifiée
si la caractéristique de K est O et X de dimension finie). Alors G, est
une sous-variété de groupe de G et l'application de G/G, dans X obtenue
par passage au quotient à partir de g ++ g . x est une immersion. Si en
outre l'orbite G . x de x est localement ferméeet si la topologiede G admet
une base dénombrable, G . x est une sous-variété de X et l'application
G/G, + G . x est un isomorphisme de variétés.
A* se compose des automorphismes de l'espace vectoriel topologique E ;
on note GL(E) la variété de groupe ainsi définie. Lorsque A = M,(K), on
obtient une structure de variété de groupe sur GL(n, K).
(iii) Si G,, . .; , G, sont des variétés de groupes, le groupe produit
G = G, x - x G, est une variété de groupe, lorsqu'on le munit de la
structure de variété produit de celles des Gi.
5.12.3. Soit G une variété de groupe, soit H un groupe topologique et
soit f : H -, G un homomorphisme continu vérifiant la condition (QR) du
no 5.8.1. La structure de variété image inverse de celle de G par f fait alors
de H une variété de groupe. Ceci s'applique notamment lorsque H est un
sous-groupe de G qui est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété); un tel
sous-groupe s'appelle une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de groupe de
G ; il est nécessairement fermé dans G.
Si Hi (i = 1,. . . , n) est une sous variété de groupe de G,, alors
H, x . . . x H, est une sous-variété de groupe de G , x - . . x G,.
5.12.4. Soit G une variété de groupe et soit H une sous-variété de groupe
de G. La relation d'équivalence x-'y E H est régulière, ce qui permet de
munir l'espace G/H des classes à gauche xH d'une structure de variété
dite quotient de celle de G. L'application canonique (g, x) ++ g . x de
G x (G/H) dans G/H est un morphisme. On a des résultats analogues
pour l'espace homogène H\G des classes à droite Hx. Si H est distingué,
la structure de variété de G/H est compatible avec sa structure de groupe.
5.12.5. Soit G une variété de groupe et soit X une variété. On appelle loi
d'opération .à gauche du groupe G dans la variété X tout morphisme
(s, x ) ~
sx de G x X dans X tel que
ex = x
si
x E X (e étant l'élément neutre de G).
On dit aussi que la variété de groupe G opère à gauche sur X ; on définit de
manière analogue les lois d'opération a droite.
Soit x E X et soit G, son stabilisateur dans G. Supposons que l'application g - g . x soit une subimmersion (hypothèse automatiquement vérifiée
si la caractéristique de K est O et X de dimension finie). Alors G, est
une sous-variété de groupe de G et l'application de G/G, dans X obtenue
par passage au quotient à partir de g ++ g . x est une immersion. Si en
outre l'orbite G . x de x est localement ferméeet si la topologiede G admet
une base dénombrable, G . x est une sous-variété de X et l'application
G/G, + G . x est un isomorphisme de variétés.