5.11.8. Soient Y, et Y, deux sous-variétés d'une variété X, et soit 1,
l'injection de Yj dans X. On dit que Y, et Y, sont transversales si le
couple (cl, 1,) est transversal; il revient au même de supposer que, pour tout
point x de Y, n Y,, les sous-espaces T,(Y,) et Tx(Y,) de T,(X) ont
T, (X) poür somme, et que leur intersection admet un supplémentaire topologique dans T,(X). Sous ces conditions, Y, n Y, est une sous-variété de
X etpourtout x dans Y, nY,, o n a :
si de plus Yi est de codimension di en x, alors Y, n Y, est de codimension dl + d, en x.
5.1 1.9. Soient f et g deux morphismes d'une variété X dans une variété Y.
Si le morphisme (Jg) : X -, Y x Y est transversal à la diagonale de
Y x Y, le sous-ensemble N de X formé des points x tels que f (x) = g(x)
est une sous-variété de X ; on l'appelle le noyau de la double flèche
f , g : x = y .
5.12. Variétés de groupes
5.12.1. Soit G un groupe. Une structure de variété sur G est dite compatible avec la structure de groupe de G si l'application (x, y)- xy de
G x G dans G est un morphisme. L'application x-x-'
est alors un
morphisme de G dans lui-même. L'ensemble G, muni de sa structure de
groupe et de sa structure de variété, est appelé une variété de groupe (« de
classe Cr » si l'on veut préciser), ou encore un groupe de Lie. Si r = w, on
dit aussi groupe analytique. Si K = R (resp. C, Q,), on dit encore groupe
de Lie réel (resp. complexe, p-adique). Toute variété de groupe est pure.
On appelle homomorphisme de variétés de groupe (ou simplement homomorphisme) toute application d'une variété de groupe dans une autre qui
est à la fois un homomorphisme de groupes et un morphisme de variétés.
Si G est une variété de groupe, la structure topologique sous-jacente à
la structure de variété de G en fait un groupe topologique métrisable et
complet; il est localement compact si K est localement compact et G de
dimension finie.
5.12.2. Exemples :
(i) Si V est un espace de Banach, la structure canonique de variété de V
est compatible avec sa structure de groupe commutatif.
(ii) Soit A une K-algèbre normée complète, possédant un élément unité,
et soit A* le groupe des éléments inversibles de A. C'est un sous-espace
ouvert de A et la structure de variété induite sur cet ouvert parla structure
canonique de variété du K-espace vectoriel A est compatible avec la
structure de groupe dans A*. En particulier, prenons pour A l'algèbre
l'injection de Yj dans X. On dit que Y, et Y, sont transversales si le
couple (cl, 1,) est transversal; il revient au même de supposer que, pour tout
point x de Y, n Y,, les sous-espaces T,(Y,) et Tx(Y,) de T,(X) ont
T, (X) poür somme, et que leur intersection admet un supplémentaire topologique dans T,(X). Sous ces conditions, Y, n Y, est une sous-variété de
X etpourtout x dans Y, nY,, o n a :
si de plus Yi est de codimension di en x, alors Y, n Y, est de codimension dl + d, en x.
5.1 1.9. Soient f et g deux morphismes d'une variété X dans une variété Y.
Si le morphisme (Jg) : X -, Y x Y est transversal à la diagonale de
Y x Y, le sous-ensemble N de X formé des points x tels que f (x) = g(x)
est une sous-variété de X ; on l'appelle le noyau de la double flèche
f , g : x = y .
5.12. Variétés de groupes
5.12.1. Soit G un groupe. Une structure de variété sur G est dite compatible avec la structure de groupe de G si l'application (x, y)- xy de
G x G dans G est un morphisme. L'application x-x-'
est alors un
morphisme de G dans lui-même. L'ensemble G, muni de sa structure de
groupe et de sa structure de variété, est appelé une variété de groupe (« de
classe Cr » si l'on veut préciser), ou encore un groupe de Lie. Si r = w, on
dit aussi groupe analytique. Si K = R (resp. C, Q,), on dit encore groupe
de Lie réel (resp. complexe, p-adique). Toute variété de groupe est pure.
On appelle homomorphisme de variétés de groupe (ou simplement homomorphisme) toute application d'une variété de groupe dans une autre qui
est à la fois un homomorphisme de groupes et un morphisme de variétés.
Si G est une variété de groupe, la structure topologique sous-jacente à
la structure de variété de G en fait un groupe topologique métrisable et
complet; il est localement compact si K est localement compact et G de
dimension finie.
5.12.2. Exemples :
(i) Si V est un espace de Banach, la structure canonique de variété de V
est compatible avec sa structure de groupe commutatif.
(ii) Soit A une K-algèbre normée complète, possédant un élément unité,
et soit A* le groupe des éléments inversibles de A. C'est un sous-espace
ouvert de A et la structure de variété induite sur cet ouvert parla structure
canonique de variété du K-espace vectoriel A est compatible avec la
structure de groupe dans A*. En particulier, prenons pour A l'algèbre