alors u, est un morphisme de P, dans S. Pour que la famille u = (u,) soit
transversale, il faut et il suffit que la famille f le soit. La bijection canonique
de n n Xi sur n Xi donne alors par restriction un isomorphisme du
l e h i d 1
h l
produit fibré n , P, sur le produit fibré ns Xi.
AEA
i d
5.11.5. Soit S une variété. On appelle variété au dessus de S une variété
X munie d'un morphisme A : X -* S. Soient (X, Â) une variété au dessus de
S et f : S' -+ S un morphisme de variétés tel que le couple (f; Â) soit
transversal. On notera alors f *(X) la variété S' x , X, munie du morphisme
f *(A) : S' x X défini par f *(A)(sl, x) = s'. On dit que f *(X) se déduit de X
par changement de base de S à S' suivant f. Si A est une submersion
(resp. une immersion, une subimmersion, un morphisme étale), il en est
de même de f *(A).
5.11.6. Soit f : X -*Y un morphisme de variétés et soit W une sousvariété de Y ; soit i l'injection canonique de W dans Y. On dit que f est
transversal à W en un point x E f - '(w) si le couple (f, i) est transversal
au point (x, f (x)) de X x W. Pour cela, il faut et il suffit que les conditions
suivantes soient satisfaites :
(i) l'espace tangent Tf(,,(Y) est somme de T,(,,(W) et de l'image de
Tx(f 1;
(ii) l'image réciproque TA f)-'(T,(,,(W)) de l'espace tangent à W en
f (x) admet un supplémentaire topolog~que.
On dit que f est tranversal à W s'il est transversal à W en tout point de
f - '(W).
Pour qu'un morphisme f de X dans Y soit une submersion, il suffit
qu'il soit transversal à tout point de Y et il faut qu'il soit transversal à toute
sous-variété de Y. Pour qu'une famille finie de morphismes I;: : Xi -+ S soit
transversale, il faut et suffit que le morphisme g de n Xi dans S1 défini
i d
par g ( ( ~ ~ ) ~ . [ )
= (L(x~))~,, soit transversal à la diagonale de SI.
5.1 1.7. Supposons que le morphisme f : X - , Y soit transversal à la sousvariété W de Y. Alors f -'(W) est une sous-variétéde X, et pour x dans
f - '(W) le sous-espace de T,(X) tangent à f - '(W) est l'image réciproque
par Tx( f') du sous-espace T,,,,(W). Par passage au quotient, l'application
linéaire Tx( f ) définit un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques
de l'espace transversal à f -'(W) en x sur l'espace transversal à W en
y = f (x). Si W est de codimension d en y dans Y, la sous-variété f - '(W)
de X est de codimension d en tout point de f -'(W). Enfin, l'application
X H (x, f(x)) est un isomorphisme de variétés de f -'(W) sur le produit
fibré X x W.