transversale si et seulement si l'on a :
codim (n Im f;:) = codim (Im f;:)
i
i
Si 1 = {1,2), le couple (f,, f,) est transversal si et seulement si
l'application
est surjective et si son noyau admet un supplémentaire topologique (si E, et
E2 sont de dimension finie, il revient au même de dire que
Im fi + Im f2 = F).
5.1 1.2. Soient S une variété, (Xi)ie1 une famille finie de variétés et f = (fi)isI
une famille de morphismes f;: de Xi dans S. Soit P le sous-ensemble
du produit X des Xi formé des points (xi)ieI tels que fi(xi) soit indépendant de i. Soit x E P et soit y = f;:(xi) E F. On dit que la famille f
est transversale au point x de P si les applications T',(fi) forment une
famille transversale d'applications linéaires continues à valeurs dans l'espace
de Banach T,(S). On dit que f est transversale si elle est transversale en
tout point de P.
Si f est transversale, alors P est une sous-variété de X, que l'on appelle
produitfibré de la famille des Xi au dessus de S (relativement à la famille f)
et que l'on note n , Xi (ou plus simplement X, x , X, lorsque 1 = {1,2)
i d
par exemple). Pour tout point x = (xi) de P, l'espace tangent ~,(n, Xi)
est le sous-espace de n Tx (Xi) formé des vecteurs tangents t = (t,) tels
que Txifi). ti soit indépendant de l'indice i.
Si JI : XI -. Y est une submersion et f2 : X2 -+ Y un morphisme, le
couple (JI, f,) est transversal.
5.1 1.3. (a Propriété universelle des produits firés ») Soit f = (fi)ieI une
famille transversale de morphismes fi : Xi -+ 8 et soit P le produit fibré
des Xi au-dessus de S; pour tout i ~ 1 ,
on note xi le morphisme de P
dans Xi obtenu par restriction a P de la projection de X sur Xi; alors
f;: O ni est un morphisme de P dans S indépendant de i. Soient T une
variété, et gi : T + Xi des morphismes de variétés tels que f;: 0 gi soit un
morphisme de T dans S indépendant de i E 1 ; il existe alors un morphisme
h de T dans P et un seul tel que g, = xi 0 h pour tout i E 1.
5.1 1.4. (a Associativité du produit fibrés) Soit f =
une famille finie
de morphismes de variétés fi : Xi -+ S, et soit (J,),,, une partition de 1.
On suppose que, pour tout R dans A, la famille f, = (fi)ieJA est transversale,
et l'on note P, le produit fibré de cette famille ; pour tout point x =
de P,, l'élément f;.(xi) de S est indépendant de i~ J, et sera noté u,(x);
codim (n Im f;:) = codim (Im f;:)
i
i
Si 1 = {1,2), le couple (f,, f,) est transversal si et seulement si
l'application
est surjective et si son noyau admet un supplémentaire topologique (si E, et
E2 sont de dimension finie, il revient au même de dire que
Im fi + Im f2 = F).
5.1 1.2. Soient S une variété, (Xi)ie1 une famille finie de variétés et f = (fi)isI
une famille de morphismes f;: de Xi dans S. Soit P le sous-ensemble
du produit X des Xi formé des points (xi)ieI tels que fi(xi) soit indépendant de i. Soit x E P et soit y = f;:(xi) E F. On dit que la famille f
est transversale au point x de P si les applications T',(fi) forment une
famille transversale d'applications linéaires continues à valeurs dans l'espace
de Banach T,(S). On dit que f est transversale si elle est transversale en
tout point de P.
Si f est transversale, alors P est une sous-variété de X, que l'on appelle
produitfibré de la famille des Xi au dessus de S (relativement à la famille f)
et que l'on note n , Xi (ou plus simplement X, x , X, lorsque 1 = {1,2)
i d
par exemple). Pour tout point x = (xi) de P, l'espace tangent ~,(n, Xi)
est le sous-espace de n Tx (Xi) formé des vecteurs tangents t = (t,) tels
que Txifi). ti soit indépendant de l'indice i.
Si JI : XI -. Y est une submersion et f2 : X2 -+ Y un morphisme, le
couple (JI, f,) est transversal.
5.1 1.3. (a Propriété universelle des produits firés ») Soit f = (fi)ieI une
famille transversale de morphismes fi : Xi -+ 8 et soit P le produit fibré
des Xi au-dessus de S; pour tout i ~ 1 ,
on note xi le morphisme de P
dans Xi obtenu par restriction a P de la projection de X sur Xi; alors
f;: O ni est un morphisme de P dans S indépendant de i. Soient T une
variété, et gi : T + Xi des morphismes de variétés tels que f;: 0 gi soit un
morphisme de T dans S indépendant de i E 1 ; il existe alors un morphisme
h de T dans P et un seul tel que g, = xi 0 h pour tout i E 1.
5.1 1.4. (a Associativité du produit fibrés) Soit f =
une famille finie
de morphismes de variétés fi : Xi -+ S, et soit (J,),,, une partition de 1.
On suppose que, pour tout R dans A, la famille f, = (fi)ieJA est transversale,
et l'on note P, le produit fibré de cette famille ; pour tout point x =
de P,, l'élément f;.(xi) de S est indépendant de i~ J, et sera noté u,(x);