5.10.6. (« Théorème du rang constant ») Soit f : X + Y un morphisme de
variétés et soit a E X. Si f est une subimmersion en a, on a rg, f = rg, f
pour x voisin de a.
Réciproquement, supposons le corps K de caractéristique zéro. Soient
(U, cp, E). une carte de X en .a et soit (V, rl/, F) une carte de Y en f (a),
avec f (U) c V. Posons g = rl/ 0 f o cp- '. S'il existe un sous-espace vectoriel
fermé El de E et un sous-espace vectoriel fermé ' F I de F tels que pour
tout X E U, le sous-espace El (resp. FI) soit un supplémentaire topologique du noyau (resp. de l'image) de la dérivée Dg(rp(x)) de g au point
cp(x), alors f est une subimmersion en a.
Si K est de caractéristique zéro (resp. K = R ou C) et si Y est de
dimensionfinie (resp. rg, f < + a), alors f est une subimmersion en a si et
seulement si rg, f = rg, f pour tout x assez voisin de a.
Si K est de caractéristique zéro (resp. K = R ou C) et Y (resp. X)
de dimensionfinie, !'ensemble des points x E X où f est une subimmersion
est un ouvert dense dans X.
5.10.7. («Factorisation canonique d'une subimmersionn) Toute subimmersion est composée d'une submersion et d'une immersion. De façon
précise, soit f : X + Y une subimmersion, et soit J la variété des germes de
sous-variétés de Y (5.8.12). Soient x dans X et y = f(x); il existe des
voisinages ouverts U de x tels que fjU soit une submersion de U sur
une sous-variété Z de Y ; l'élément y,,(Z) de J ne dépend que de x mais
non du voisinage U choisi, et, si on le note Â(x), l'application  est une
submersion de X dans J ; si l'on note p l'immersion canonique de J dans
Y, on a f = p O 1. Si f est une immersion, le morphisme  de X dans J
est étale.
Si g est une submersion surjective de X dans une variété Z et h un
morphisme de Z dans Y tels que f = h o g, il existe une submersion , u et
une seule de Z dans J telle que Â. = , u 0 g.
5.1 1. Produits jibrés et images réciproques
5.1 1.1. Soient % un espace de Banach, (E,),, une famille finie d'espaces de
Banach et f = (A),,, une famille d'applications linéaires continues J;. de
E, dans F. Soient E le produit des E, et f l'application linéaire continue de
E dans F' produit des f;-. Soit enfin D le sous-espace fermé de F1 formé
des (y,),,, tel< que y, soit indépendant de i (« diagonale » de FI). On dit
que la famille f est transversale si l'application linéaire continue composée
de f et de la projection canonique de F' sur le quotient F'/D est surjective
et si son noyau f - '(D) admet un supplémentaire topologique.
Si les espaces E, et F sont tous de dimension finie, la famille f est
variétés et soit a E X. Si f est une subimmersion en a, on a rg, f = rg, f
pour x voisin de a.
Réciproquement, supposons le corps K de caractéristique zéro. Soient
(U, cp, E). une carte de X en .a et soit (V, rl/, F) une carte de Y en f (a),
avec f (U) c V. Posons g = rl/ 0 f o cp- '. S'il existe un sous-espace vectoriel
fermé El de E et un sous-espace vectoriel fermé ' F I de F tels que pour
tout X E U, le sous-espace El (resp. FI) soit un supplémentaire topologique du noyau (resp. de l'image) de la dérivée Dg(rp(x)) de g au point
cp(x), alors f est une subimmersion en a.
Si K est de caractéristique zéro (resp. K = R ou C) et si Y est de
dimensionfinie (resp. rg, f < + a), alors f est une subimmersion en a si et
seulement si rg, f = rg, f pour tout x assez voisin de a.
Si K est de caractéristique zéro (resp. K = R ou C) et Y (resp. X)
de dimensionfinie, !'ensemble des points x E X où f est une subimmersion
est un ouvert dense dans X.
5.10.7. («Factorisation canonique d'une subimmersionn) Toute subimmersion est composée d'une submersion et d'une immersion. De façon
précise, soit f : X + Y une subimmersion, et soit J la variété des germes de
sous-variétés de Y (5.8.12). Soient x dans X et y = f(x); il existe des
voisinages ouverts U de x tels que fjU soit une submersion de U sur
une sous-variété Z de Y ; l'élément y,,(Z) de J ne dépend que de x mais
non du voisinage U choisi, et, si on le note Â(x), l'application  est une
submersion de X dans J ; si l'on note p l'immersion canonique de J dans
Y, on a f = p O 1. Si f est une immersion, le morphisme  de X dans J
est étale.
Si g est une submersion surjective de X dans une variété Z et h un
morphisme de Z dans Y tels que f = h o g, il existe une submersion , u et
une seule de Z dans J telle que Â. = , u 0 g.
5.1 1. Produits jibrés et images réciproques
5.1 1.1. Soient % un espace de Banach, (E,),, une famille finie d'espaces de
Banach et f = (A),,, une famille d'applications linéaires continues J;. de
E, dans F. Soient E le produit des E, et f l'application linéaire continue de
E dans F' produit des f;-. Soit enfin D le sous-espace fermé de F1 formé
des (y,),,, tel< que y, soit indépendant de i (« diagonale » de FI). On dit
que la famille f est transversale si l'application linéaire continue composée
de f et de la projection canonique de F' sur le quotient F'/D est surjective
et si son noyau f - '(D) admet un supplémentaire topologique.
Si les espaces E, et F sont tous de dimension finie, la famille f est