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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
$ 5
5.9.8. («Produits de quotients ») Soit (Xi)i,, une famille finie de variétés,
munies chacune d'une relation d'équivalence régulière Ri. Soit X = n Xi,
i d
et soit R la relation d'équivalence sur X produit des Ri (cf. Top. Gén.,
chap. 1, 4' éci., 5 5, no 3, cor. de la prop. 8). Alors R est régulière, et la
bijection canonique de X/R sur n (Xi/Ri) est un isomorphisme de variétés.
i d
5.10.1. Soit f : X - , Y un morphisme de variétés et soit ï le graphe de f:
L'application j : x H (x, f (x)) est une immersion de X dans X x Y,
dont l'image est la sous-variété T, et f = pr, 0 j est composé de l'immersion
j suivie de la submersion pr,.
Soit a E X. On dit que f est une subimrnersion en a s'il existe un voisinage ouvert U de a, une variété Z, une submersion s de U dans Z
et une immersion i de Z dans Y tels que f lU = i 0 S. L'ensemble des
points de X où f est une subimmersion est un ouvert de X; si cet ouvert
est X tout entier, on dit que f est une subimmersion.
5.10.2. Les immersions et les submersions sont des subimmersions. Si
f : X + Y est une subimmersion, g : Y -+ Z une immersion et h : W -+ X
une submersion, alors g 0 f 0 h est une subimmersion.
Si f et f ' sont des subimmersions, f x f ' est une subimmersion.
5.10.3. Pour que f : X -+ Y soit une subimmersion en un point a de X,
il faut et il suffit qu'il existe une carte (U, rp, E) de X en a, une carte
(V, $, F) de Y au point f(a) et une application linéaire continue g de E
dans F tels que :
(i)f(U) V, g(cp(U)) c $(VI et f l U = +-' Og O c p ;
(ii) le noyau (resp. l'image) de g est un sous-espace fermé de E (resp. F)
admettant un supplémentaire topologique.
5.10.4. Soient X et Y deux variétés de dimension finie. Pour qu'un morphisme f de X dans Y soit une subimmersion en un point a de X, il
faut et il suffit qu'il existe un système de coordonnées (<', . . . , tm) de X en
a, un système de coordonnées (ql,. . . , qn) de Y en f (a) et un entier
k ,< inf (m, n) tels que
pour 1 < i < k
$ o f =
O
pour k < i < n .
5.10.5. Soit f : X - , Y une subimmersion. Pour tout b G Y, f - '(b) est une
sous-variété de X ; le sous-espace de T,(X) tangent à la sous-variété f - '(b)
au point a E f - '(b) est le noyau de Ta( f ).
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
$ 5
5.9.8. («Produits de quotients ») Soit (Xi)i,, une famille finie de variétés,
munies chacune d'une relation d'équivalence régulière Ri. Soit X = n Xi,
i d
et soit R la relation d'équivalence sur X produit des Ri (cf. Top. Gén.,
chap. 1, 4' éci., 5 5, no 3, cor. de la prop. 8). Alors R est régulière, et la
bijection canonique de X/R sur n (Xi/Ri) est un isomorphisme de variétés.
i d
5.10.1. Soit f : X - , Y un morphisme de variétés et soit ï le graphe de f:
L'application j : x H (x, f (x)) est une immersion de X dans X x Y,
dont l'image est la sous-variété T, et f = pr, 0 j est composé de l'immersion
j suivie de la submersion pr,.
Soit a E X. On dit que f est une subimrnersion en a s'il existe un voisinage ouvert U de a, une variété Z, une submersion s de U dans Z
et une immersion i de Z dans Y tels que f lU = i 0 S. L'ensemble des
points de X où f est une subimmersion est un ouvert de X; si cet ouvert
est X tout entier, on dit que f est une subimmersion.
5.10.2. Les immersions et les submersions sont des subimmersions. Si
f : X + Y est une subimmersion, g : Y -+ Z une immersion et h : W -+ X
une submersion, alors g 0 f 0 h est une subimmersion.
Si f et f ' sont des subimmersions, f x f ' est une subimmersion.
5.10.3. Pour que f : X -+ Y soit une subimmersion en un point a de X,
il faut et il suffit qu'il existe une carte (U, rp, E) de X en a, une carte
(V, $, F) de Y au point f(a) et une application linéaire continue g de E
dans F tels que :
(i)f(U) V, g(cp(U)) c $(VI et f l U = +-' Og O c p ;
(ii) le noyau (resp. l'image) de g est un sous-espace fermé de E (resp. F)
admettant un supplémentaire topologique.
5.10.4. Soient X et Y deux variétés de dimension finie. Pour qu'un morphisme f de X dans Y soit une subimmersion en un point a de X, il
faut et il suffit qu'il existe un système de coordonnées (<', . . . , tm) de X en
a, un système de coordonnées (ql,. . . , qn) de Y en f (a) et un entier
k ,< inf (m, n) tels que
pour 1 < i < k
$ o f =
O
pour k < i < n .
5.10.5. Soit f : X - , Y une subimmersion. Pour tout b G Y, f - '(b) est une
sous-variété de X ; le sous-espace de T,(X) tangent à la sous-variété f - '(b)
au point a E f - '(b) est le noyau de Ta( f ).