cet ouvert est X tout entier, on dit que f est une submersion.
5.9.2. Soient f : X -+ Y et g : Y -r Z deux morphismes. Si f et g sont
des submersions, il en est de même de g 0 f; réciproquement, si g 0 f est
une submersion et si f est surjective, alors g est une submersion.
5.9.3. Si f : X + Y et f ' : X' + Y' sont des submersions, f x f ' est une
submersion.
5.9.4. Une submersion f : X $ Y est une application ouverte (cf. Top.
gén., chap. 1, 4' éd., 5 5, no 1 ) ; en particulier, la relation d'équivalence
R définie par f est ouverte, f définit par passage au quotient un homéomorphisme de X/R sur f(X), et f(X) est ouvert dans Y.
5.9.5. Soit R une relation d'équivalence sur une variété X. On dit que R
est régulière s'il existe sur l'espace quotient X/R une structure de variété telle
que la projection canonique p : X -> X/R soit une submersion; cette
structure de variété est alors unique; elle est quotient de celle de X (Ens.,
ch. IV, 5 2, no 6) : autrement dit, pour qu'une appl$ation g de X/R dans
une variété Y soit un morphisme, il faut et il suffit que g o p soit un morphisme de X dans Y.
Soit C c X x X le graphe de R. Pour que R soit régulière, il faut et il
suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites :
(i) C est une sous-variété de X x X.
(ii) L'application pr, de C dans X est une submersion.
La condition (ii) signifie aussi que si a et b sont congrus modulo R, il
existe un voisinage ouvert U de a et un morphisme s de U dans X tel
que s(a) = b et que s(x) soit congru à x modulo R pour tout x EU.
Supposons R régulière. Pour que la variété quotient X/R soit séparée, il
faut et il suffit que le graphe de R soit fermé dans X x X.
5.9.6. Soient X et X' deux variétés, R et R' des relations d'équivalence
régulières sur X et X', et soit f : X -t X' un morphisme compatible avec
les relations R et R'. L'application f : X/R -+ Xf/R' déduite de f par
passage aux quotients est alors un morphisme.
5.9.7. (« Transitivité des quotients ») Soient R et S deux relations d'équivalence sur une variété X telles que R entraîne S, et soit S/R la relation
d'équivalence quotient sur X/R. Supposons que R soit régulière. Alors,
pour que S soit régulière, il faut et il suffit que SIR le soit ; s'il en est ainsi,
la bijection canonique
(X/RM(S/R) + X/S
est un isomorphisme de variétés.
5.9.2. Soient f : X -+ Y et g : Y -r Z deux morphismes. Si f et g sont
des submersions, il en est de même de g 0 f; réciproquement, si g 0 f est
une submersion et si f est surjective, alors g est une submersion.
5.9.3. Si f : X + Y et f ' : X' + Y' sont des submersions, f x f ' est une
submersion.
5.9.4. Une submersion f : X $ Y est une application ouverte (cf. Top.
gén., chap. 1, 4' éd., 5 5, no 1 ) ; en particulier, la relation d'équivalence
R définie par f est ouverte, f définit par passage au quotient un homéomorphisme de X/R sur f(X), et f(X) est ouvert dans Y.
5.9.5. Soit R une relation d'équivalence sur une variété X. On dit que R
est régulière s'il existe sur l'espace quotient X/R une structure de variété telle
que la projection canonique p : X -> X/R soit une submersion; cette
structure de variété est alors unique; elle est quotient de celle de X (Ens.,
ch. IV, 5 2, no 6) : autrement dit, pour qu'une appl$ation g de X/R dans
une variété Y soit un morphisme, il faut et il suffit que g o p soit un morphisme de X dans Y.
Soit C c X x X le graphe de R. Pour que R soit régulière, il faut et il
suffit que les deux conditions suivantes soient satisfaites :
(i) C est une sous-variété de X x X.
(ii) L'application pr, de C dans X est une submersion.
La condition (ii) signifie aussi que si a et b sont congrus modulo R, il
existe un voisinage ouvert U de a et un morphisme s de U dans X tel
que s(a) = b et que s(x) soit congru à x modulo R pour tout x EU.
Supposons R régulière. Pour que la variété quotient X/R soit séparée, il
faut et il suffit que le graphe de R soit fermé dans X x X.
5.9.6. Soient X et X' deux variétés, R et R' des relations d'équivalence
régulières sur X et X', et soit f : X -t X' un morphisme compatible avec
les relations R et R'. L'application f : X/R -+ Xf/R' déduite de f par
passage aux quotients est alors un morphisme.
5.9.7. (« Transitivité des quotients ») Soient R et S deux relations d'équivalence sur une variété X telles que R entraîne S, et soit S/R la relation
d'équivalence quotient sur X/R. Supposons que R soit régulière. Alors,
pour que S soit régulière, il faut et il suffit que SIR le soit ; s'il en est ainsi,
la bijection canonique
(X/RM(S/R) + X/S
est un isomorphisme de variétés.