sous-variété de Km. Si x E Z,, l'idéal K[X,, . . . , XJ n a, se compose des
polynômes f nuls sur.un voisinage de x dans Z, .
Soit ü l'idéal des polynômes nuls sur Z. Si K est algébriquement clos,
l'ensemble des zéros simples de a est dense dans Z.
5.8.12. Soient X une variété et L l'ensemble des couples (x, Z) où x est
un point de X et Z une sous-variété de X contenant x. Etant donnés
deux couples n = (x, Z) et n' = (x', Z'), nous noterons Rh, n'i la relation :
« On a x = x' et il existe un voisinage U de x tel que U n Z = U n Z' P.
Alors R est une relation d'équivalence dans L; on note y,(Z) la classe
d'équivalence du couple (x, Z) E L. Sur l'ensemble J = L/R, il existe
une structure de variété et une seule qui vérifie la condition suivante :
Pour toute sous-variété Z de X, l'application x- y,(Z) de Z dans J
est un isomorphisme de Z sur une sous-variété ouverte de J.
On dit que J est la variété des germes de sous-variétés de X (cf. Top. Gén.,
chap. 1, 4e éd., 5 6, no 10).
L'application p : J -. X définie par p(y,(Z)) = x est une immersion;
on l'appelle l'immersion canonique de J dans X.
Si X est une variété analytique séparée de dimension finie, il en est de
même de J.
5.9. Submersions et variétés quotients
5.9.1. Soient f : X -+ Y un morphisme de variétés, a un point de X et
posons b = f (a). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L'application linéaire TA f) est surjective, et son noyau admet un
supplémentaire topologique dans T,(X).
(ii) Il existe une carte (U, rp, E) de X en a, une carte (V, $, F) de Y en
b et une application linéaire continue surjective u de E dans F telles que
et que le noyau de u admette un supplémentaire topologique dans E.
(iii) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b
contenant f(U), et un morphisme g de U dans une variété Z tels que
l'application (fl g) de U dans V x Z soit un isomorphisme.
(iv) Il existe un voisinage ouvert V de b et un morphisme s de V dans
X tels que s(b) = a et f (s(y)) =, y pour tout y dans V (« section locale »).
Lorsque X et Y sont de dimensionflnie, les conditions précédentes
sont équivalentes à la condition suivante :
(v) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b
contenant f (U), et un système de coordonnées (r]', . . . , r]") sur V tels que
les fonctions ?' of sur U fassent partie d'un système de coordonnées sur U.
Si les propriétés (i) à (iv) sont satisfaites, on dit que f est une submersion
en a. L'ensemble des points où f est une submersion est ouvert dans X ; si
polynômes f nuls sur.un voisinage de x dans Z, .
Soit ü l'idéal des polynômes nuls sur Z. Si K est algébriquement clos,
l'ensemble des zéros simples de a est dense dans Z.
5.8.12. Soient X une variété et L l'ensemble des couples (x, Z) où x est
un point de X et Z une sous-variété de X contenant x. Etant donnés
deux couples n = (x, Z) et n' = (x', Z'), nous noterons Rh, n'i la relation :
« On a x = x' et il existe un voisinage U de x tel que U n Z = U n Z' P.
Alors R est une relation d'équivalence dans L; on note y,(Z) la classe
d'équivalence du couple (x, Z) E L. Sur l'ensemble J = L/R, il existe
une structure de variété et une seule qui vérifie la condition suivante :
Pour toute sous-variété Z de X, l'application x- y,(Z) de Z dans J
est un isomorphisme de Z sur une sous-variété ouverte de J.
On dit que J est la variété des germes de sous-variétés de X (cf. Top. Gén.,
chap. 1, 4e éd., 5 6, no 10).
L'application p : J -. X définie par p(y,(Z)) = x est une immersion;
on l'appelle l'immersion canonique de J dans X.
Si X est une variété analytique séparée de dimension finie, il en est de
même de J.
5.9. Submersions et variétés quotients
5.9.1. Soient f : X -+ Y un morphisme de variétés, a un point de X et
posons b = f (a). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L'application linéaire TA f) est surjective, et son noyau admet un
supplémentaire topologique dans T,(X).
(ii) Il existe une carte (U, rp, E) de X en a, une carte (V, $, F) de Y en
b et une application linéaire continue surjective u de E dans F telles que
et que le noyau de u admette un supplémentaire topologique dans E.
(iii) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b
contenant f(U), et un morphisme g de U dans une variété Z tels que
l'application (fl g) de U dans V x Z soit un isomorphisme.
(iv) Il existe un voisinage ouvert V de b et un morphisme s de V dans
X tels que s(b) = a et f (s(y)) =, y pour tout y dans V (« section locale »).
Lorsque X et Y sont de dimensionflnie, les conditions précédentes
sont équivalentes à la condition suivante :
(v) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b
contenant f (U), et un système de coordonnées (r]', . . . , r]") sur V tels que
les fonctions ?' of sur U fassent partie d'un système de coordonnées sur U.
Si les propriétés (i) à (iv) sont satisfaites, on dit que f est une submersion
en a. L'ensemble des points où f est une submersion est ouvert dans X ; si