5.8.8. Soit X une quasi-sous-variété d'une variété Y ; soit x un point
de X et notons f l'injection canonique de X dans Y. L'application
Tx( f ) : TJX) -+ T,(Y) est injective et elle permet d'identijîer l'espace T,(X)
à un sous-espace vectoriel fermé de T,(Y). L'espace vectoriel topologique
quotient T,(Y)/T,(X) est un espace de Banach, qu'on appelle espace
transversal en x à X (dans Y). Sa dimension (finie ou +a) s'appelle
la codimension de X dans Y au point x.
Si de plus X est une sous-variété de Y, alors l'espace T,(X) admet un
supplémentaire topologique dans T,(Y).
5.8.9. Soit f üne application d'une variété X dans une variété Y, et soit r
son graphe. Pour que f soit un morphisme, il faut et il suffit que les deux
conditions suivantes soient satisfaites :
(il r est une sous-variété de X x Y.
(ii) Pour tout (x, y) E r, on a
S'il en est ainsi, l'application pr, induit un isomorphisme de ï sur X, et
T,,,,(T) s'identifie au graphe de T,( f ).
En particulier, la diagonale de X x X est une sous-variété de X x X.
5.8.10. Soit Y une variété, et soit (A),, une famille finie de fonctions
morphiques sur Y. Soit X l'ensemble des x E Y tels que fi (x) = O pour
tout ' 1' . Faisons l'hypothèse suivante :
(J) Pour tout x E X, les différentielles d,fi sont linéairement indépendantes dans T' :(Y).
Alors X est une sous-variété fermée de Y, l'espace tangent ?' ,(x) est le
sous-espace de T,(Y) formé des cr tels que a .A = O pour tout i dans 1.
De plus, la codimension de X dans Y est égale a Card (1) en chacun de ses
points.
5.8.1 1. (Points simples d'un idéal). Soit a un idéal de l'algèbre de polynômes K[X,, . . . , X,]. Un point x = (x,, . . . , x,) de Kn est appelé un zéro
de a si f (x) = O pour tout f E a. Si x E Kn, notons S, la sous-algèbre de
K(X ,, . . . , X,) formée des fractions flg, avec f, g E K[X,, . . . , X,], et
g(.x) # O ; notons a, l'idéal de S, engendré par a dans S,. Un point x
est appelé un zéro simple de a si c'est un zéro de a et si la condition suivante
est satisfaite :
(S) Il existe une suite finie ( f , , . . . , f,) d'éléments de a qui engendrent
l'idéal a, et dont les différentielles en x sont linéairement indépendantes.
(Cette condition équivaut à dire que l'anneau local SJa, est régulier (Alg.
Cotnm., à paraître).)
Soit Z (resp. Z,) l'ensemble des zéros (resp. des zéros simples) de a.
L'ensemble Z est fermé dans Kn, Z, est ouvert dans Z, et Z, est une
de X et notons f l'injection canonique de X dans Y. L'application
Tx( f ) : TJX) -+ T,(Y) est injective et elle permet d'identijîer l'espace T,(X)
à un sous-espace vectoriel fermé de T,(Y). L'espace vectoriel topologique
quotient T,(Y)/T,(X) est un espace de Banach, qu'on appelle espace
transversal en x à X (dans Y). Sa dimension (finie ou +a) s'appelle
la codimension de X dans Y au point x.
Si de plus X est une sous-variété de Y, alors l'espace T,(X) admet un
supplémentaire topologique dans T,(Y).
5.8.9. Soit f üne application d'une variété X dans une variété Y, et soit r
son graphe. Pour que f soit un morphisme, il faut et il suffit que les deux
conditions suivantes soient satisfaites :
(il r est une sous-variété de X x Y.
(ii) Pour tout (x, y) E r, on a
S'il en est ainsi, l'application pr, induit un isomorphisme de ï sur X, et
T,,,,(T) s'identifie au graphe de T,( f ).
En particulier, la diagonale de X x X est une sous-variété de X x X.
5.8.10. Soit Y une variété, et soit (A),, une famille finie de fonctions
morphiques sur Y. Soit X l'ensemble des x E Y tels que fi (x) = O pour
tout ' 1' . Faisons l'hypothèse suivante :
(J) Pour tout x E X, les différentielles d,fi sont linéairement indépendantes dans T' :(Y).
Alors X est une sous-variété fermée de Y, l'espace tangent ?' ,(x) est le
sous-espace de T,(Y) formé des cr tels que a .A = O pour tout i dans 1.
De plus, la codimension de X dans Y est égale a Card (1) en chacun de ses
points.
5.8.1 1. (Points simples d'un idéal). Soit a un idéal de l'algèbre de polynômes K[X,, . . . , X,]. Un point x = (x,, . . . , x,) de Kn est appelé un zéro
de a si f (x) = O pour tout f E a. Si x E Kn, notons S, la sous-algèbre de
K(X ,, . . . , X,) formée des fractions flg, avec f, g E K[X,, . . . , X,], et
g(.x) # O ; notons a, l'idéal de S, engendré par a dans S,. Un point x
est appelé un zéro simple de a si c'est un zéro de a et si la condition suivante
est satisfaite :
(S) Il existe une suite finie ( f , , . . . , f,) d'éléments de a qui engendrent
l'idéal a, et dont les différentielles en x sont linéairement indépendantes.
(Cette condition équivaut à dire que l'anneau local SJa, est régulier (Alg.
Cotnm., à paraître).)
Soit Z (resp. Z,) l'ensemble des zéros (resp. des zéros simples) de a.
L'ensemble Z est fermé dans Kn, Z, est ouvert dans Z, et Z, est une