condition (R) soit satisfaite. Cette structure est alors unique: c'est l'image
inverse par f de la structure de variété de Y.
5.8.2. La condition (R) ci-dessus est notamment satisfaite lorsque pour
tout a E X il existe un voisinage ouvert U de a tel que f lU soit un
homéomorphisme de U sur un ouvert de Y. Dans ce cas, la variété X
obtenue est étalée sur Y (5.7.6).
5.8.3. Supposons maintenant que X soit un sous-espace topologique de
Y, f étant l'injection canonique. Si f satisfait à la condition (R) (resp.
(QR)) du no 5.8.1, on dit que X, muni de la structure image inverse de la
structure de variété de Y par 1; est une sous-variété (resp. quasi-sousvariété) de Y . Une sous-variété est une quasi-sous-variété.
Toute quasi-sous-variété est localement fermée; tout ouvert est une sousvariété et sa structure est celle définie au no 5.2.3.
Lorsque Y est localement de dimension finie, un sous-espace topologique
X de Y est une sous-variété de Y si et seulement si, pour tout a t~ X, il
existe un voisinage ouvert U de a dans Y, un système de coordonnées
(tl, . . . , tm) de Y dans U, et un entier k < m tels que U n X soit I'ensemble des points de U où s'annulent simultanément les fonctions ti pour
l < i < k .
Soit f : X -, Y un morphisme de variétés. Supposons que f soit une
immersion, et que f induise un homéomorphisme de X sur f(X). Alors
f(X) est une sous-variété de Y, et f induit un isomorphisme de X sur
f (X); on dit alors que f est un plongement de X dans Y.
5.8.4. Soient Y et W deux variétés, soit X une sous-variété de Y et soit f
une application de X dans W. Pour que f soit un morphisme, il faut et il
suffit que, pour tout a E X, il existe un voisinage U de a dans Y et un
morphisme g : U - , W tels que g coïncide avec f sur U n X.
5.8.5. Soit X une quasi-sous-variété d'une variété Y, et soit g une application d'une variété Z dans X. Supposons que K soit de caractéristique
0, ou.que X soit une sous-variété de Y. Pour que g soit un morphisme
de Z dans X, il faut et il suffit que ce soit un morphisme de Z dans Y :
autrement dit, la structure de variété de X est induite par celle de Y (Ens.,
ch. IV, $ Z no 4).
5.8.6. Si X est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de Y et si Y est
une sous-variété d'une variété Z, alors X est une sous-variété (resp. quasisous-variété) de Z.
5.8.7. Soit Xi (pour i = 1,2) une variété et soit Yi une sous-variété (resp.
quasi-sous-variété) de Xi (pour i = 1,2). Alors Y, x Y, est une sousvariété (resp. quasi-sous-variété) de XI x X,.
inverse par f de la structure de variété de Y.
5.8.2. La condition (R) ci-dessus est notamment satisfaite lorsque pour
tout a E X il existe un voisinage ouvert U de a tel que f lU soit un
homéomorphisme de U sur un ouvert de Y. Dans ce cas, la variété X
obtenue est étalée sur Y (5.7.6).
5.8.3. Supposons maintenant que X soit un sous-espace topologique de
Y, f étant l'injection canonique. Si f satisfait à la condition (R) (resp.
(QR)) du no 5.8.1, on dit que X, muni de la structure image inverse de la
structure de variété de Y par 1; est une sous-variété (resp. quasi-sousvariété) de Y . Une sous-variété est une quasi-sous-variété.
Toute quasi-sous-variété est localement fermée; tout ouvert est une sousvariété et sa structure est celle définie au no 5.2.3.
Lorsque Y est localement de dimension finie, un sous-espace topologique
X de Y est une sous-variété de Y si et seulement si, pour tout a t~ X, il
existe un voisinage ouvert U de a dans Y, un système de coordonnées
(tl, . . . , tm) de Y dans U, et un entier k < m tels que U n X soit I'ensemble des points de U où s'annulent simultanément les fonctions ti pour
l < i < k .
Soit f : X -, Y un morphisme de variétés. Supposons que f soit une
immersion, et que f induise un homéomorphisme de X sur f(X). Alors
f(X) est une sous-variété de Y, et f induit un isomorphisme de X sur
f (X); on dit alors que f est un plongement de X dans Y.
5.8.4. Soient Y et W deux variétés, soit X une sous-variété de Y et soit f
une application de X dans W. Pour que f soit un morphisme, il faut et il
suffit que, pour tout a E X, il existe un voisinage U de a dans Y et un
morphisme g : U - , W tels que g coïncide avec f sur U n X.
5.8.5. Soit X une quasi-sous-variété d'une variété Y, et soit g une application d'une variété Z dans X. Supposons que K soit de caractéristique
0, ou.que X soit une sous-variété de Y. Pour que g soit un morphisme
de Z dans X, il faut et il suffit que ce soit un morphisme de Z dans Y :
autrement dit, la structure de variété de X est induite par celle de Y (Ens.,
ch. IV, $ Z no 4).
5.8.6. Si X est une sous-variété (resp. quasi-sous-variété) de Y et si Y est
une sous-variété d'une variété Z, alors X est une sous-variété (resp. quasisous-variété) de Z.
5.8.7. Soit Xi (pour i = 1,2) une variété et soit Yi une sous-variété (resp.
quasi-sous-variété) de Xi (pour i = 1,2). Alors Y, x Y, est une sousvariété (resp. quasi-sous-variété) de XI x X,.