dans X. Si K = R ou C, ce résultat reste vrai si l'ou suppose seulement que
X est de dimension finie.
5.7.5. Soit f : X -+ Y une immersion et soit g une application continue
d'une variété Z dans X. Pour que g soit un morphisme, il faut et il suffit
que f 0 g soit un morphisme.
5.7.6. Soit f : X - , Y un morphisme, et soit a dans X. Les deux propriétés
suivantes sont équivalentes :
(i) T J f ) est bijectif.
(ii) Il existe un voisinage ouvert U de a et un voisinage ouvert V de
f (a) tels que f induise un isomorphisme de U sur V.
Lorsque ces propriétés sont vérifiées, on dit que f est un isomorphisme
local en a, ou que f est étale en a. Si cela a lieu pour tout a E X, on dit
que f est étale, ou est un étalement, ou que X est étalé dans Y (au moyen
de f). Pour qu'un morphisme soit étale, il faut et il suffit que ce soit a la
fois une immersion (no 5.7.1) et une submersion (no 5.9.1.).
5.7.7. Soit f : X -. Y une immersion; supposons la variété X pure de
dimension finie. Alors f est étale dans chacun des deux cas suivants :
(i) dimY = dimX;
(ii) f est surjective et la topologie de X admet une base dénombrable
d'ouverts.
5.7.8. Pour qu'un morphisme f soit un isomorphisme sur une sousvariété ouverte (resp. un isomorphisme), il faut et il suffit que f soit étale
et injectif (resp. étale et bijectif).
5.8. Images inverses & structures de variété, sous-variétés
5.8.1. Soient X un espace topologique, Y une variété et f une application
de X dans Y. Considérons les conditions suivantes :
(QR) (resp. (R)) Pour tout a E X , il existe un voisinage ouvert U de a
dans X et une carte (V, rp, E ) de la variété Y en f (a) tels que f (U) c V et
que cp of induise un homéomorphisme de U sur l'intersection de q(V) avec
un sous-espace vectoriel fermé (resp. fermé et admettant un supplémentaire
topologique) F de E.
Si la condition (QR) est réalisée, il existe sur X une structure de variété
et une seule pour laquelle les triplets (U, cp oj; F) (avec les notations de
(QK)) sont des cartes de X. On l'appelle la structure image inverse de la
structure de variété de Y par f: Sa topologie est celle de X.
Pour qu'il existe sur X une structure de variété compatible avec la topologie donnée et pour laquelle f soit une immersion, il faut et il suffit que la
X est de dimension finie.
5.7.5. Soit f : X -+ Y une immersion et soit g une application continue
d'une variété Z dans X. Pour que g soit un morphisme, il faut et il suffit
que f 0 g soit un morphisme.
5.7.6. Soit f : X - , Y un morphisme, et soit a dans X. Les deux propriétés
suivantes sont équivalentes :
(i) T J f ) est bijectif.
(ii) Il existe un voisinage ouvert U de a et un voisinage ouvert V de
f (a) tels que f induise un isomorphisme de U sur V.
Lorsque ces propriétés sont vérifiées, on dit que f est un isomorphisme
local en a, ou que f est étale en a. Si cela a lieu pour tout a E X, on dit
que f est étale, ou est un étalement, ou que X est étalé dans Y (au moyen
de f). Pour qu'un morphisme soit étale, il faut et il suffit que ce soit a la
fois une immersion (no 5.7.1) et une submersion (no 5.9.1.).
5.7.7. Soit f : X -. Y une immersion; supposons la variété X pure de
dimension finie. Alors f est étale dans chacun des deux cas suivants :
(i) dimY = dimX;
(ii) f est surjective et la topologie de X admet une base dénombrable
d'ouverts.
5.7.8. Pour qu'un morphisme f soit un isomorphisme sur une sousvariété ouverte (resp. un isomorphisme), il faut et il suffit que f soit étale
et injectif (resp. étale et bijectif).
5.8. Images inverses & structures de variété, sous-variétés
5.8.1. Soient X un espace topologique, Y une variété et f une application
de X dans Y. Considérons les conditions suivantes :
(QR) (resp. (R)) Pour tout a E X , il existe un voisinage ouvert U de a
dans X et une carte (V, rp, E ) de la variété Y en f (a) tels que f (U) c V et
que cp of induise un homéomorphisme de U sur l'intersection de q(V) avec
un sous-espace vectoriel fermé (resp. fermé et admettant un supplémentaire
topologique) F de E.
Si la condition (QR) est réalisée, il existe sur X une structure de variété
et une seule pour laquelle les triplets (U, cp oj; F) (avec les notations de
(QK)) sont des cartes de X. On l'appelle la structure image inverse de la
structure de variété de Y par f: Sa topologie est celle de X.
Pour qu'il existe sur X une structure de variété compatible avec la topologie donnée et pour laquelle f soit une immersion, il faut et il suffit que la