espace vectoriel fermé de T,(Y) admettant un supplémentaire topologique l ;
(ii) Il existe un espace de Banach F, un sous-espace vectoriel fermé
E de F admettant un supplémentaire topologique, et des cartes (U, cp, E)
de X en a et (V, $, F) de Y en b telles que f (U) c V et cp = $ O (f lu).
(iii) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b
contenant f ( U ) , une variété Z , un point c de Z, et un isomorphisme
de variétés g de U x Z sur V tels que f (x) = g(x, c) pour tout x E U.
(iv) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b
et un morphisme q de V dans X avec f(U) c V, et q(f(x)) = x pour
tout x € U.
Lorsque X et Y sont de dimension finie, les conditions précédentes
sont encore équivalentes à la suivante :
(v) Il existe un voisinage ouvert U de a, un système de coordonnées
(ql, . . . , q") de Y dans un voisinage ouvert V de b contenant f (U) et
un entier m < n tels que qi o f = O pour m c j < n et que les fonctions
q 1 0 f , . . . , qm o f forment un système de coordonnées de X dans U.
Si les propriétés (i) à (iv) sont satisfaites, on dit que f est une immersion
en a.
L'ensemble des points où f est une immersion est ouvert dans X ; si
cet ouvert est X tout entier, on dit que f est une immersion..
Pour que f soit une immersion, il faut et il suffit que l'on puisse recouvrir
X par des ouverts Ui tels que, pour tout i, f lui soit un isomorphisme de
Ui sur une sous-variété de Y (cf. no 5.8.3).
5.7.2. Exemples :
(a) Si X est un ouvert d'une variété Y, l'injection canonique de X
dans Y est une immersion.
(b) Soient E et F deux espaces de Banach et u une application
linéaire continue de E dans F. Alors u est une immersion si et seulement
si u est un isomorphisme de E sur un sous-espace vectoriel fermé de F
admettant un supplémentaire topologique.
5.7.3. Soient f : X + Y et g : Y + Z deux morphismes. Si f et g sont
des immersions, g 0 f est une immersion. Réciproquement, si g 0 f est
une immersion, alors f est une immersion. Si f : X -r Y et f' : X' -* Y'
sont des immersions, f x f' est une immersion.
5.7.4 Supposons que X et Y soient des variétés de dimensionfînie sur un
corps K de caractéristique 0. Si f : X + Y est un morphisme injectif,
l'ensemble des points de X où f est une immersion est un ouvert dense
' Tout sous-espace vectoriel fermé de codimension finie d'un espace de Banach admet un
supplémentaire topologique; si K = R oit C, il en est de même de tout sous-espace vectoriel
(nécessairement fermé) de dimension finie
(ii) Il existe un espace de Banach F, un sous-espace vectoriel fermé
E de F admettant un supplémentaire topologique, et des cartes (U, cp, E)
de X en a et (V, $, F) de Y en b telles que f (U) c V et cp = $ O (f lu).
(iii) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b
contenant f ( U ) , une variété Z , un point c de Z, et un isomorphisme
de variétés g de U x Z sur V tels que f (x) = g(x, c) pour tout x E U.
(iv) Il existe un voisinage ouvert U de a, un voisinage ouvert V de b
et un morphisme q de V dans X avec f(U) c V, et q(f(x)) = x pour
tout x € U.
Lorsque X et Y sont de dimension finie, les conditions précédentes
sont encore équivalentes à la suivante :
(v) Il existe un voisinage ouvert U de a, un système de coordonnées
(ql, . . . , q") de Y dans un voisinage ouvert V de b contenant f (U) et
un entier m < n tels que qi o f = O pour m c j < n et que les fonctions
q 1 0 f , . . . , qm o f forment un système de coordonnées de X dans U.
Si les propriétés (i) à (iv) sont satisfaites, on dit que f est une immersion
en a.
L'ensemble des points où f est une immersion est ouvert dans X ; si
cet ouvert est X tout entier, on dit que f est une immersion..
Pour que f soit une immersion, il faut et il suffit que l'on puisse recouvrir
X par des ouverts Ui tels que, pour tout i, f lui soit un isomorphisme de
Ui sur une sous-variété de Y (cf. no 5.8.3).
5.7.2. Exemples :
(a) Si X est un ouvert d'une variété Y, l'injection canonique de X
dans Y est une immersion.
(b) Soient E et F deux espaces de Banach et u une application
linéaire continue de E dans F. Alors u est une immersion si et seulement
si u est un isomorphisme de E sur un sous-espace vectoriel fermé de F
admettant un supplémentaire topologique.
5.7.3. Soient f : X + Y et g : Y + Z deux morphismes. Si f et g sont
des immersions, g 0 f est une immersion. Réciproquement, si g 0 f est
une immersion, alors f est une immersion. Si f : X -r Y et f' : X' -* Y'
sont des immersions, f x f' est une immersion.
5.7.4 Supposons que X et Y soient des variétés de dimensionfînie sur un
corps K de caractéristique 0. Si f : X + Y est un morphisme injectif,
l'ensemble des points de X où f est une immersion est un ouvert dense
' Tout sous-espace vectoriel fermé de codimension finie d'un espace de Banach admet un
supplémentaire topologique; si K = R oit C, il en est de même de tout sous-espace vectoriel
(nécessairement fermé) de dimension finie