5.6.4. Soient W, X et X' trois variétés, et soiedt f : W + X, f ' : W -+ X'
deux applications. Pour que l'application
soit un morphisme, il faut et il suffit que f et f' soient des morphismes
(cela justifie l'emploi du terme « produit N, cf. Ens., chap. IV, $2, no 4). Dans
ce cas, si a est un point de W, on a:
compte tenu de l'identification faite ci-dessus.
5.6.5. Soient f : X -+ Y et f ' : X' + Y' des morphismes de variétés. Alors
f x f ' : X x X'+ Y x Y' est un morphisme. Si a € X et a'eXf, on a :
5.6.6. Soient X,, X, et Z trois variétés et f un morphisme de XI x X,
dans Z. Soit a é X1 et b E X,. L'application linéaire tangente à l'application partielle x H f (x, b) (resp. y c+ f (a, y)) de XI (resp. X,) dans
Z se note Tta,,,( f ) (resp. Tta,,)( f )). Si l'on identifie T(,,)(X, x X,) à
Ta(X1) x
on a:
5.6.7. (a Théorème des fonctions implicites »). Les hypothèses et notations
étant celles du numéro précédent, supposons de plus que Tfa,,)( f ) soit bgectif.
Il existe alors un voisinage ouvert U de a dans X, et un voisinage ouvert
V de b dans X, possédant la propriété suivante : pour tout x E U, il
existe un point g(x) de V et un seul tel que f (x, g(x)) = f (a, b), et l'application g est un morphisme de U dans V . Pour tout x E U, on a .
5.7. Immersions, morphismes étales
5.7.1. Soient X et Y deux variétés, f un morphisme de X dans Y et
a un point de X. Posons b = f (a). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L'application linéaire Ta( f ) est injective et son image est un sous-