ce qui peut encore s'écrire :
Ces notations sont cohérentes avec celles de 1.6.3.
5.5.9. Soient X et Y deux variétés et f un morphisme de X dans Y.
On appelle rang de f en un point a de X, et on note rgaf, le rang (fini
ou égal à + co) de l'application linéaire Ta( f ). L'application a ++ rg, f
est semi-continue inférieurement.
5.6. Produits de variétés
5.6.1. Soient X et X' deux ensembles et soit c = (U, cp, E) (resp.
cf = (U', cp, E')) une carte de X (resp. X'). Le triplet
(U x U', cp x cp', E x .E' )
est une carte de l'ensemble produit X4 x X', notée c x c'.
5.6.2. Soient X et X' deux variétés de classe Cr. Il existe sur l'ensemble
produit X x X' une structure de variété de classe Cr et une seule telle
que c x c' soit une carte de X x X' pour toute carte c de X et toute
carte c' de X'. Muni de cette structure, X x X' s'appelle la variété produit des variétés X et X'. On définit de même le produit d'un nombre
fini quelconque de variétés. La topologie de la variété X x X' est la
topologie produit des topologies de X et de X'. Pour a E X et b E X',
on a :
dim(,,,)(X x X') = dimaX + dimJ.
5.6.3. Soient X et X' deux variétés, et soit X x X' leur produit. Soit
a E X et soit a'€ X'. Les projections canoniques
pr, : X x X' -+ X
et pr, : X x X' -* X'
sont des morphismes. Soient ni (i = 1,2) leurs applications linéaires
tangentes au point (a, a'). L'application
(n19 ~ 2 )
: T(a,a*)(X x X') + TaW) x Ta@')
est un isomorphisme, ce qui permet d'identijïer Vespuce tangent à X x X' en
(a, a') au produit Ta(X) x Ta.(X').
L'injection de Ta(X) dans T(a,a.,(X x X') résultant de cette identification
est l'application linéaire tangente en a au morphisme XI-+ (x, a') de X
dans X x X'; on a un résultat analogue pour l'injection de Ta,(X1) dans
T(a,a,,(X x X').