t( f ) ou t . f la valeur do f (t) de l'application linéaire da f au point t.
L'application f H do f est linéaire,
Si E = K, la différentielle d, f de f en a est un covecteur de X en a.
Soient E, F, G trois espaces de Banach et soit (u, v) H u . v une application bilinéaire continue de F x G dans E. Soit f (resp. g) un morphisme
de X dans F (resp. G). Alors l'application f . g : x w f (x) . g(x) est un
morphisme de X dans E et on a, pour tout t €T0(X):
Prenons en particulier G = E et F = K, l'application bilinéaire
considérée étant la multiplication. On a alors:
5.5.7. Soit X une variété localement de dimension finie et soient Cl,. . . , cm
des fonctions morphiques définie dans un voisinage ouvert U d'un point
a de X. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe un voisinage ouvert V de a contenu dans U, tel que les
fonctions cl V (pour 1 < i < m) forment un système de coordonnées de
X dans V ;
(ii) les différentielles doti pour 1 < i ,< m forment une base de TAX)';
(iii) l'application t = (t', . . . , 5") de U dans Km est étale en a
(voir no 5.7.6).
Pour que les différentielles duc1,. . . , dutm soient linéairement indépendantes, il faut et il sufit qu'il existe un voisinage V de a, contenu dans U,
tel que les fonctions ?IV fassent partie d'un système de coordonnées de
X dans V.
5.5.8. Soit X une variété localement de dimension finie et soit = (tl,. . . , tm)
un syst+me de coordonnées de X dans un ouvert U. Soit a E U : on note
(a,,o,. . . , am,o) la base de l'espace tangent To(X) duale de la base
(dot1, . . . , da(") de Ta@)'. On a donc :
a ) = 6 , (indice de Kronecker).
Le vecteur tangent ai., se note aussi (û/aC),.
Soit f une fonction de classe Cr sur U, à valeurs dans un espace de
Banach E. On note di f OU dfag la fonction a H ai,.( f ): c'est une
fonction de classe Cr- ' sur U à valeurs dans E (une fonction continue
si r = 1). Sa valeur en un point a de U est parfois notée (af/ay'),. Pour
tout t E Tu(X), on a :
m
af
dof (t) = C d,ti(t),(a),
i = I
a t
L'application f H do f est linéaire,
Si E = K, la différentielle d, f de f en a est un covecteur de X en a.
Soient E, F, G trois espaces de Banach et soit (u, v) H u . v une application bilinéaire continue de F x G dans E. Soit f (resp. g) un morphisme
de X dans F (resp. G). Alors l'application f . g : x w f (x) . g(x) est un
morphisme de X dans E et on a, pour tout t €T0(X):
Prenons en particulier G = E et F = K, l'application bilinéaire
considérée étant la multiplication. On a alors:
5.5.7. Soit X une variété localement de dimension finie et soient Cl,. . . , cm
des fonctions morphiques définie dans un voisinage ouvert U d'un point
a de X. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe un voisinage ouvert V de a contenu dans U, tel que les
fonctions cl V (pour 1 < i < m) forment un système de coordonnées de
X dans V ;
(ii) les différentielles doti pour 1 < i ,< m forment une base de TAX)';
(iii) l'application t = (t', . . . , 5") de U dans Km est étale en a
(voir no 5.7.6).
Pour que les différentielles duc1,. . . , dutm soient linéairement indépendantes, il faut et il sufit qu'il existe un voisinage V de a, contenu dans U,
tel que les fonctions ?IV fassent partie d'un système de coordonnées de
X dans V.
5.5.8. Soit X une variété localement de dimension finie et soit = (tl,. . . , tm)
un syst+me de coordonnées de X dans un ouvert U. Soit a E U : on note
(a,,o,. . . , am,o) la base de l'espace tangent To(X) duale de la base
(dot1, . . . , da(") de Ta@)'. On a donc :
a ) = 6 , (indice de Kronecker).
Le vecteur tangent ai., se note aussi (û/aC),.
Soit f une fonction de classe Cr sur U, à valeurs dans un espace de
Banach E. On note di f OU dfag la fonction a H ai,.( f ): c'est une
fonction de classe Cr- ' sur U à valeurs dans E (une fonction continue
si r = 1). Sa valeur en un point a de U est parfois notée (af/ay'),. Pour
tout t E Tu(X), on a :
m
af
dof (t) = C d,ti(t),(a),
i = I
a t