est une application linéaire continue de E dans F. L'application linéaire
continue 8,. 0 D@((p(a)) 0 8; ' de Ta@) dans T,(Y) ne dépend pas des
cartes c et cf choisies; on la note T a ( f ) et on l'appelle l'application
linéaire tangente à f en a. Si g est un morphisme de Y dans une variété
Z, o n a :
5.5.3. Soit f : X 4 Y un morphisme de variétés. Si f est localement
constant, on a Ta( f ) = O pour tout a dans X . Réciproquement, si Ta( f ) = O
pour tout a E X et si le corps K est de caractéristique 0, alors f est
localement constant.
5.5.4. Soient U un ouvert d'une variété X et f l'injection canonique de U
dans X ; pour tout point a de U, l'application T a ( f ) de Ta(U) dans
Ta(X) est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques, par lequel on
identijîera désormais ces deux espaces.
5.5.5. Soit U un ouvert d'un espace de Banach E ; si L est l'injection
canonique de U dans E, le triplet c = (U,L, E ) est une carte de U, et
l'atlas '[cf définit la structure de variété de U. Etant donné un point a de
U, l'application 0, est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques
de E sur Ta(U) ; I'isomorphisme réciproque sera noté [,(a).
Soit f une application de classe C' de U dans un ouvert V d'un
espace de Banach F; pour tout point a de U, on a :
où - Df (a) est la dérivée de f en a (1.2.1). Àutrement dit, le diagramme :
est commutatif.
5.5.6. On appelle vecteur cotangent à X en a, ou encore covecteur tangent
ou simplement covecteur en a, toute forme linéaire continue sur l'espace
vectoriel topologique Ta(X); ces covecteurs sont donc les éléments du
dual topologique Ta(X)' de l'espace tangent à X en a. On munira cet
espace de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de
Ta(X): muni de cette topologie, Ta(X)' est un espace de Banach qu'on
appelle espace cotangent à X en a. On le note aussi Tfa(X).
Soit f un morphisme de x dans un espace de Banach E. On appelle
différentielle de f en a et on note da f ou df, l'application linéaire continue [
,
( f (a)) 0 T,,( f ) de Ta(X) dans E. Pour t E T,,(X), on note parfois
continue 8,. 0 D@((p(a)) 0 8; ' de Ta@) dans T,(Y) ne dépend pas des
cartes c et cf choisies; on la note T a ( f ) et on l'appelle l'application
linéaire tangente à f en a. Si g est un morphisme de Y dans une variété
Z, o n a :
5.5.3. Soit f : X 4 Y un morphisme de variétés. Si f est localement
constant, on a Ta( f ) = O pour tout a dans X . Réciproquement, si Ta( f ) = O
pour tout a E X et si le corps K est de caractéristique 0, alors f est
localement constant.
5.5.4. Soient U un ouvert d'une variété X et f l'injection canonique de U
dans X ; pour tout point a de U, l'application T a ( f ) de Ta(U) dans
Ta(X) est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques, par lequel on
identijîera désormais ces deux espaces.
5.5.5. Soit U un ouvert d'un espace de Banach E ; si L est l'injection
canonique de U dans E, le triplet c = (U,L, E ) est une carte de U, et
l'atlas '[cf définit la structure de variété de U. Etant donné un point a de
U, l'application 0, est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques
de E sur Ta(U) ; I'isomorphisme réciproque sera noté [,(a).
Soit f une application de classe C' de U dans un ouvert V d'un
espace de Banach F; pour tout point a de U, on a :
où - Df (a) est la dérivée de f en a (1.2.1). Àutrement dit, le diagramme :
est commutatif.
5.5.6. On appelle vecteur cotangent à X en a, ou encore covecteur tangent
ou simplement covecteur en a, toute forme linéaire continue sur l'espace
vectoriel topologique Ta(X); ces covecteurs sont donc les éléments du
dual topologique Ta(X)' de l'espace tangent à X en a. On munira cet
espace de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de
Ta(X): muni de cette topologie, Ta(X)' est un espace de Banach qu'on
appelle espace cotangent à X en a. On le note aussi Tfa(X).
Soit f un morphisme de x dans un espace de Banach E. On appelle
différentielle de f en a et on note da f ou df, l'application linéaire continue [
,
( f (a)) 0 T,,( f ) de Ta(X) dans E. Pour t E T,,(X), on note parfois