EO E G, et un homéomorphisme cp de U sur un ouvert de E,, tels que,
pour tout ouvert V c U et tout E E G, l'ensemble FE(V) se compose
des fonctions g ocp, où g parcourt l'espace gr(rp(V); E).
Il existe alors sur X une structure de variété de classe C' et de type 6
et une seule, compatible avec la topologie donnée sur X et pour laquelle
FE est le faisceau des fonctions de classe Cr sur X à valeurs dans E.
5.4.4. Soit X un espace topologique et soit 9 un faisceau de fonctions à
valeurs dans K, vérifiant la condition suivante: pour tout point x de X,
il existe un entier n, un voisinage ouvert U de x et un homéomorphisme cp
de U sur un ouvert de Kn, tels que, pour tout ouvert V de U, l'ensemble
F ( V ) se compose des fonctions g 0 cp où g parwurt l'ensemble des fonctions de classe C' à valeurs dans K sur l'ouvert cp(V) de Kn.
Il existe alors sur X une structure de variété localement de dimension
finie et de classe Cr et une seule telle que 9 = V :
.
5.4.5. Soient X et X' deux variétés de classe C', localement de dimension
finie, et soit f une application conticue de X dans X'. Pour que f soit
un morphisme, il faut et il suffit que pour tout ouvert U' de X' et toute
fonction g é %"(U' ; K), la fonction g O f appartienne a V(U ; K), avec
u = f - yu').
5.5. Espaces tangents, applications linéaires tangentes
5.5.1. Soit X une variété et soit a E X. Considérons les couples (c, h) où
c = (U, cp, E) est une carte de la variété X en a et où h est un élément de
E. Deux tels couples (c, h) et (cf, h') sont dits équivalents si la dérivée en
cp(a) de l'application cp' 0 cp-' (qui est définie sur un voisinage de cp(a))
transforme h en h'. On obtient ainsi une relation d'équivalence entre
couples (c, h) et on appelle vecteur tangent en a à X une classe de couples
(c, h) équivalents (Ens., chap. II, 5 6, no 9).
Les vecteurs tangents en a à X forment un ensemble noté TJX). Si
c = (U, cp, E) est une carte de la variété X en a, l'application 13, de E
dans TJX) qui associe à un élément h de E le vecteur tangent représenté
par le couple (c, h) est une bijection. Si l'on transporte à Ta(X), au moyen
de O, , la structure de K-espace vectoriel topologique de E, la structure
ainsi obtenue ne dépend pas du choix de c et fait de Ta@) un espace de
Banach, appelé espace tangent à X en a. La dimension (finie ou +a)
de T,(X) est égale à la dimension de X en a.
5.5.2. Soient X, Y deux variétés, f un morphisme de X dans Y et a
un point de X. Considérons une carte c = (U, cp, E) de X en a et une
carte c' = (V, i,û, F) de Y en b avec f (U) c V; l'application Q, = $ 0 f O rp- '
de q(U) dans F est de classe C ' , et sa dérivée D@(rp(a)) au point cp(a)
pour tout ouvert V c U et tout E E G, l'ensemble FE(V) se compose
des fonctions g ocp, où g parcourt l'espace gr(rp(V); E).
Il existe alors sur X une structure de variété de classe C' et de type 6
et une seule, compatible avec la topologie donnée sur X et pour laquelle
FE est le faisceau des fonctions de classe Cr sur X à valeurs dans E.
5.4.4. Soit X un espace topologique et soit 9 un faisceau de fonctions à
valeurs dans K, vérifiant la condition suivante: pour tout point x de X,
il existe un entier n, un voisinage ouvert U de x et un homéomorphisme cp
de U sur un ouvert de Kn, tels que, pour tout ouvert V de U, l'ensemble
F ( V ) se compose des fonctions g 0 cp où g parwurt l'ensemble des fonctions de classe C' à valeurs dans K sur l'ouvert cp(V) de Kn.
Il existe alors sur X une structure de variété localement de dimension
finie et de classe Cr et une seule telle que 9 = V :
.
5.4.5. Soient X et X' deux variétés de classe C', localement de dimension
finie, et soit f une application conticue de X dans X'. Pour que f soit
un morphisme, il faut et il suffit que pour tout ouvert U' de X' et toute
fonction g é %"(U' ; K), la fonction g O f appartienne a V(U ; K), avec
u = f - yu').
5.5. Espaces tangents, applications linéaires tangentes
5.5.1. Soit X une variété et soit a E X. Considérons les couples (c, h) où
c = (U, cp, E) est une carte de la variété X en a et où h est un élément de
E. Deux tels couples (c, h) et (cf, h') sont dits équivalents si la dérivée en
cp(a) de l'application cp' 0 cp-' (qui est définie sur un voisinage de cp(a))
transforme h en h'. On obtient ainsi une relation d'équivalence entre
couples (c, h) et on appelle vecteur tangent en a à X une classe de couples
(c, h) équivalents (Ens., chap. II, 5 6, no 9).
Les vecteurs tangents en a à X forment un ensemble noté TJX). Si
c = (U, cp, E) est une carte de la variété X en a, l'application 13, de E
dans TJX) qui associe à un élément h de E le vecteur tangent représenté
par le couple (c, h) est une bijection. Si l'on transporte à Ta(X), au moyen
de O, , la structure de K-espace vectoriel topologique de E, la structure
ainsi obtenue ne dépend pas du choix de c et fait de Ta@) un espace de
Banach, appelé espace tangent à X en a. La dimension (finie ou +a)
de T,(X) est égale à la dimension de X en a.
5.5.2. Soient X, Y deux variétés, f un morphisme de X dans Y et a
un point de X. Considérons une carte c = (U, cp, E) de X en a et une
carte c' = (V, i,û, F) de Y en b avec f (U) c V; l'application Q, = $ 0 f O rp- '
de q(U) dans F est de classe C ' , et sa dérivée D@(rp(a)) au point cp(a)