5.3.6. Supposons que K = R et r # o. On dit qu'une variété X admet
des partitions de l'unité de classe C' si, pour tout recouvrement. ouvert
localement fini de X, il existe une partition continue de l'unité (Top. Gén.,
ch. IX, § 4, no 3) subordonnée à ce recouvrement et formée de. fonctions de
classe C'.
Soit E un espace de Banach ; considérons la propriété suivante :
(PU) Quels que soient les sous-ensembles fermés disjoints A et B de E,
il existe une fonction f de classe C' sur E, à valeurs dans R, telle que
f ( x ) = O pour X E A , f ( x ) = 1 pour X E B et 0 , ( f ( x ) ,< 1 pourtout XEE.
Si G est un ensemble d'espaces de Banach possédant la propriété (PU),
toute variété paracompacte de type 6 admet .des partitions de l'unité de
classe Cr.
Tout espace de dimension finie, tout espace hilbertien de type dénombrable possède la propriété (PU).
5.3.7. Supposons K ultramétrique. Soit X une variété paracompacte.
Pour tout recouvrement ouvert U de X, il existe une partition de X en
sous-ensembles ouverts et fermés subordonnée au recouvrement U.
5.3.8. Supposons K localement compact. Soient X et Y deux variétés
pures de dimension finie, et soit f un morphisme de X dans Y. Si
dim X < dim Y et si la topologie de X admet une base dénombrable
d'ouverts, f ( X ) est maigre dans Y.
5.4. Caractérisation des variétés par leurs faisceaux de fonctions
5.4.1. Soit X un espace topologique, et soit Y un ensemble. Supposons
donné, pour tout ouvert U de X, un ensemble 9 ( U ) d'applications de
U dans Y. Nous dirons que la famille 9 = ( P ( U ) ] est un faisceau de
fonctions à valeurs dans Y si elle vérifie la condition suivante:
Soit (Ui),, une famille d'ouverts de X , de réunion U , et soit f une
application de U dans Y ; pour que f appartienne à Y ( U ) , il faut et il sufit
que f lui appartienneà Y ( U i ) pour tout i dans 1.
5.4.2. Soient X et Y deux variétés; pour tout ouvert U c X, soit 9 ( U )
l'ensemble des morphismes de U dans Y ; alors 9 est un faisceau de
fonctions à valeurs dans Y.
Lorsque Y = K, on note Wx le faisceau ainsi défini.
5.4.3. Soit X un espace topologique et soit G un ensemble d'espaces de
Banach. Pour tout E E G, soit PE un faisceau de fonctions sur X à valeurs
dans E. Supposons que la famille des PE, pour E E 6, vérifie la condition
suivante :
Pour tout X E X, il existe un voisinage ouvert U de x, un espace
des partitions de l'unité de classe C' si, pour tout recouvrement. ouvert
localement fini de X, il existe une partition continue de l'unité (Top. Gén.,
ch. IX, § 4, no 3) subordonnée à ce recouvrement et formée de. fonctions de
classe C'.
Soit E un espace de Banach ; considérons la propriété suivante :
(PU) Quels que soient les sous-ensembles fermés disjoints A et B de E,
il existe une fonction f de classe C' sur E, à valeurs dans R, telle que
f ( x ) = O pour X E A , f ( x ) = 1 pour X E B et 0 , ( f ( x ) ,< 1 pourtout XEE.
Si G est un ensemble d'espaces de Banach possédant la propriété (PU),
toute variété paracompacte de type 6 admet .des partitions de l'unité de
classe Cr.
Tout espace de dimension finie, tout espace hilbertien de type dénombrable possède la propriété (PU).
5.3.7. Supposons K ultramétrique. Soit X une variété paracompacte.
Pour tout recouvrement ouvert U de X, il existe une partition de X en
sous-ensembles ouverts et fermés subordonnée au recouvrement U.
5.3.8. Supposons K localement compact. Soient X et Y deux variétés
pures de dimension finie, et soit f un morphisme de X dans Y. Si
dim X < dim Y et si la topologie de X admet une base dénombrable
d'ouverts, f ( X ) est maigre dans Y.
5.4. Caractérisation des variétés par leurs faisceaux de fonctions
5.4.1. Soit X un espace topologique, et soit Y un ensemble. Supposons
donné, pour tout ouvert U de X, un ensemble 9 ( U ) d'applications de
U dans Y. Nous dirons que la famille 9 = ( P ( U ) ] est un faisceau de
fonctions à valeurs dans Y si elle vérifie la condition suivante:
Soit (Ui),, une famille d'ouverts de X , de réunion U , et soit f une
application de U dans Y ; pour que f appartienne à Y ( U ) , il faut et il sufit
que f lui appartienneà Y ( U i ) pour tout i dans 1.
5.4.2. Soient X et Y deux variétés; pour tout ouvert U c X, soit 9 ( U )
l'ensemble des morphismes de U dans Y ; alors 9 est un faisceau de
fonctions à valeurs dans Y.
Lorsque Y = K, on note Wx le faisceau ainsi défini.
5.4.3. Soit X un espace topologique et soit G un ensemble d'espaces de
Banach. Pour tout E E G, soit PE un faisceau de fonctions sur X à valeurs
dans E. Supposons que la famille des PE, pour E E 6, vérifie la condition
suivante :
Pour tout X E X, il existe un voisinage ouvert U de x, un espace