de Y, l'application $ 0 f de la sous-variété ouvei te f -'(V) dans l'espace
de Banach F est de classe C'. Pour cela, il suffit qu'il existe un atlas s4 de
Y tel que, pour toute carte (V, $, F) E d, l'ensemble f - '(V) soit ouvert
dans X et que l'application + O f de la sous-variété ouverte f -'(V) de
X dans F soit de classe C'. L'ensemble des morphismes de X dans Y
est noté V(X ; Y). Lorsque Y est un espace de Banach muni de sa structure
canonique de variété, les définitions de 5.3.1 et 5.3.2 sont cohérentes. Une
application de classe Ca est aussi appelée application K-analytique (ou
simplement analytique). Lorsque K = C, on dit aussi application holomorphe.
Soient (U, (p, E) une carte de X et (V, $, F) une carte de Y telles
que f(U) c V. L'application + o f O cp-' de l'ouvert q(U) de E dans
l'ouvert +(V) de F est appelée l'expression de f dans les cartes données.
5.3.3. Supposons X et Y de dimension finie ; soient a é X, b é Y et
f une application de X dans Y avec f (a) = b. Supposons d'abord que
f soit de classe C' et considérons des systèmes de coordonnées
(U; t', . . . , tm) de X en a et (V; ql, . . ., qn) de Y en b respectivement,
avec f (U) c V. Soit
l'application (tl, . . . , tm) de U dans Km. 11
existe alors des fonctions uj de classe Cr sur I'ouvert t(U) de Km, à
valeurs dans K, telles que les coordonnées d'un point y = f (x) de Y,
(pour x dans U), soient données par les formules :
(1)
= d(tl(x), . . . , tm(x)) pour 1 < j < n
ce qui équivaut à :
On dit que les formules ,précédentes constituent 1 'expression de f au moyen
des systèmes de coordonnées choisis.
Réciproquement, si, pour tout point a de X, on peut trouver un systemt:
de coordonnées de X en a et un système de coordonnées de Y en
b = f (a) satisfaisant aux conditions précédentes, alors f est de classe Cr.
5.3.4. Les morphismes de variétés satisfont aux axiomes d7Ens., chap. IV,
5 2:
a) Le composé de deux morphismes est un morphisme.
b) Pour qu'une bijection f : X -, Y s&t un isomorphisme, il faut et il
suffit que f et f - ' soient des morphismes.
5.3.5. Supposons que r = o. Soient X une variété et f, g deux applications analytiques de X dans un espace polynormé séparé ou dans une
variété analytique séparée. L'ensemble des points au voisinage desquels
f et g sont égales, est ouvert et fermé dans X.
de Banach F est de classe C'. Pour cela, il suffit qu'il existe un atlas s4 de
Y tel que, pour toute carte (V, $, F) E d, l'ensemble f - '(V) soit ouvert
dans X et que l'application + O f de la sous-variété ouverte f -'(V) de
X dans F soit de classe C'. L'ensemble des morphismes de X dans Y
est noté V(X ; Y). Lorsque Y est un espace de Banach muni de sa structure
canonique de variété, les définitions de 5.3.1 et 5.3.2 sont cohérentes. Une
application de classe Ca est aussi appelée application K-analytique (ou
simplement analytique). Lorsque K = C, on dit aussi application holomorphe.
Soient (U, (p, E) une carte de X et (V, $, F) une carte de Y telles
que f(U) c V. L'application + o f O cp-' de l'ouvert q(U) de E dans
l'ouvert +(V) de F est appelée l'expression de f dans les cartes données.
5.3.3. Supposons X et Y de dimension finie ; soient a é X, b é Y et
f une application de X dans Y avec f (a) = b. Supposons d'abord que
f soit de classe C' et considérons des systèmes de coordonnées
(U; t', . . . , tm) de X en a et (V; ql, . . ., qn) de Y en b respectivement,
avec f (U) c V. Soit
l'application (tl, . . . , tm) de U dans Km. 11
existe alors des fonctions uj de classe Cr sur I'ouvert t(U) de Km, à
valeurs dans K, telles que les coordonnées d'un point y = f (x) de Y,
(pour x dans U), soient données par les formules :
(1)
= d(tl(x), . . . , tm(x)) pour 1 < j < n
ce qui équivaut à :
On dit que les formules ,précédentes constituent 1 'expression de f au moyen
des systèmes de coordonnées choisis.
Réciproquement, si, pour tout point a de X, on peut trouver un systemt:
de coordonnées de X en a et un système de coordonnées de Y en
b = f (a) satisfaisant aux conditions précédentes, alors f est de classe Cr.
5.3.4. Les morphismes de variétés satisfont aux axiomes d7Ens., chap. IV,
5 2:
a) Le composé de deux morphismes est un morphisme.
b) Pour qu'une bijection f : X -, Y s&t un isomorphisme, il faut et il
suffit que f et f - ' soient des morphismes.
5.3.5. Supposons que r = o. Soient X une variété et f, g deux applications analytiques de X dans un espace polynormé séparé ou dans une
variété analytique séparée. L'ensemble des points au voisinage desquels
f et g sont égales, est ouvert et fermé dans X.