de classe Cz (s 2 r + 1) au-dessus de B. Si N est un ouvert de X, notons Yr(B; N)
l'ensemble des sections de classe Cr de X sur B dont l'image est contenue dans N. Il
existe sur F ( B ; X) une structure de K-variété de classe Cs-', et une seule, telle que,
pour toute section o E .Yr(B; X) et tout voisinage tubulaire (M, N, cp) de classe Cis
de o (15.2.7), le triplet (Y(B; N), tp*, i"M (B)), où cp* est l'application f - cp of, soit
une carte de la K-variété F ( B ; X).
Dans ce qui suit, on munit F ( B ; X) de cette structure.
15.3.3. Soit X une variété différentielle compacte de classe Cr, et soit Y une K-variété
de classe Cs (s 2 r + 1). Soit Vr(X; Y) l'ensemble des applications de classe Cr de X
dans Y (autrement dit, à valeurs dans la variété de classe Cr sous-jacente à Y, cf.
5.13.1 et 5.14.2). On munit V(X; Y) de la structure de K-variété de classe Cs-'
obtenue en l'identifiant à .Y' @; X x Y), cf. 15.2.3, (ii) et 15.3.2. On l'appelle la variété
des applications de c h s e Cr de X dans Y. Sa topologie est celle de la C-convergence
uniforme (12.3.10).
Supposons Y séparée; il en est alors de même de Vr(X; Y). De plus, l'ensemble des
immersions (resp. plongements, submersions, submersions surjectives, morphismes
étales, isomorphismes) de classe C de X dans Y est un ouvert de V(X; Y).
Soient X' une variété différentielle compacte de classe Cr, cp : X' + Xun morphisme
de variétés différentielles de classe Cr et +: Y -+ Y' un morphisme de K-variétés de
classe Cs. L'application f ++ + 0 f 0 cp est un morphisme de classe Cs--' de V(X; Y)
dans Vr(X' ; Y').
15.3.4 (4 Affaiblissement de structure v). Gardons les hypothèses et notations de
15.3.3. Soit de plus s' E N, avec r < s' < s et soit Y, la variété réelle de classe Cs'
sous-jacente à Y (5.13 et 5.14.2). La structure de variété réelle de classe Cs'-' de
Er@; Ys.) est sous-jacente à la structure de K-variété de classe Cs-' de V(X; Y).
15.3.5. Soient X et X' des variétés différentielles compactes de classe Cr et C ' respectivement, avec r' < r; et soit Y une K-variété de classe Cs, avec s 2 r + 1. Soit
t = Inf(r - r', s - r). L'application Cf, g) ++ g 0 f est un morphisme de classe Ct de
Vr' (X' ; X) x Qr(X ; Y) dans Vr '(X' ; Y).
15.3.6 (((Espace tangent à Vr(X; Y) ))). Les hypothèses étant celles de 15.3.3, soit
f E Vr(X; Y) et soit 5 un vecteur tangent en f à la variété P m ; Y). Si x E X, notons
E= l'application g ci g(x) de P(X; Y) dans Y; c'est un morphisme de classe Cs--'.
L'image par Tf(cx) de 5 est un élément 5, de T,,,(Y); l'application x » 5, est un
relèvement de classe Cr de f dans T(Y) (cf. 8.6.1) et on peut l'identifier à une section de
classe Cr du fibré vectoriel f *T(Y) de base X. On obtient de cette façon un isomorphisme de l'espace tangent Tf(W(X; Y)) sur l'espace de Banach 9&)(X).
15.3.7 (4 Interprétation de VPm; Vq(Y; Z)) n
)
. Soient X et Y des variétés différentielles compactes de classe CP et CQ respectivement (1 < p < +a, 1 < q < + a ) , et
soit Z une K-variété de classe Cs, avec s p + q. Soitf: X x Y -+ Z une application
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'
l'ensemble des sections de classe Cr de X sur B dont l'image est contenue dans N. Il
existe sur F ( B ; X) une structure de K-variété de classe Cs-', et une seule, telle que,
pour toute section o E .Yr(B; X) et tout voisinage tubulaire (M, N, cp) de classe Cis
de o (15.2.7), le triplet (Y(B; N), tp*, i"M (B)), où cp* est l'application f - cp of, soit
une carte de la K-variété F ( B ; X).
Dans ce qui suit, on munit F ( B ; X) de cette structure.
15.3.3. Soit X une variété différentielle compacte de classe Cr, et soit Y une K-variété
de classe Cs (s 2 r + 1). Soit Vr(X; Y) l'ensemble des applications de classe Cr de X
dans Y (autrement dit, à valeurs dans la variété de classe Cr sous-jacente à Y, cf.
5.13.1 et 5.14.2). On munit V(X; Y) de la structure de K-variété de classe Cs-'
obtenue en l'identifiant à .Y' @; X x Y), cf. 15.2.3, (ii) et 15.3.2. On l'appelle la variété
des applications de c h s e Cr de X dans Y. Sa topologie est celle de la C-convergence
uniforme (12.3.10).
Supposons Y séparée; il en est alors de même de Vr(X; Y). De plus, l'ensemble des
immersions (resp. plongements, submersions, submersions surjectives, morphismes
étales, isomorphismes) de classe C de X dans Y est un ouvert de V(X; Y).
Soient X' une variété différentielle compacte de classe Cr, cp : X' + Xun morphisme
de variétés différentielles de classe Cr et +: Y -+ Y' un morphisme de K-variétés de
classe Cs. L'application f ++ + 0 f 0 cp est un morphisme de classe Cs--' de V(X; Y)
dans Vr(X' ; Y').
15.3.4 (4 Affaiblissement de structure v). Gardons les hypothèses et notations de
15.3.3. Soit de plus s' E N, avec r < s' < s et soit Y, la variété réelle de classe Cs'
sous-jacente à Y (5.13 et 5.14.2). La structure de variété réelle de classe Cs'-' de
Er@; Ys.) est sous-jacente à la structure de K-variété de classe Cs-' de V(X; Y).
15.3.5. Soient X et X' des variétés différentielles compactes de classe Cr et C ' respectivement, avec r' < r; et soit Y une K-variété de classe Cs, avec s 2 r + 1. Soit
t = Inf(r - r', s - r). L'application Cf, g) ++ g 0 f est un morphisme de classe Ct de
Vr' (X' ; X) x Qr(X ; Y) dans Vr '(X' ; Y).
15.3.6 (((Espace tangent à Vr(X; Y) ))). Les hypothèses étant celles de 15.3.3, soit
f E Vr(X; Y) et soit 5 un vecteur tangent en f à la variété P m ; Y). Si x E X, notons
E= l'application g ci g(x) de P(X; Y) dans Y; c'est un morphisme de classe Cs--'.
L'image par Tf(cx) de 5 est un élément 5, de T,,,(Y); l'application x » 5, est un
relèvement de classe Cr de f dans T(Y) (cf. 8.6.1) et on peut l'identifier à une section de
classe Cr du fibré vectoriel f *T(Y) de base X. On obtient de cette façon un isomorphisme de l'espace tangent Tf(W(X; Y)) sur l'espace de Banach 9&)(X).
15.3.7 (4 Interprétation de VPm; Vq(Y; Z)) n
)
. Soient X et Y des variétés différentielles compactes de classe CP et CQ respectivement (1 < p < +a, 1 < q < + a ) , et
soit Z une K-variété de classe Cs, avec s p + q. Soitf: X x Y -+ Z une application
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