continue; pour tout x E X, notons f, l'application y - f(x, y) de Y dans Z. Les deux
propriétés suivantes sont équivalentes :
a) Quelles que soient les cartes c = (U, v, E) de X, d = (V, y5, F) de Y et
e = (W, O, G) de Z telles que f(U x V) c W, les dérivées partielles DED:' de
l'expressionf de f dans les cartes c x d et e (5.3.2) existent et sont continues pour
p' G p e t q ' < q.
b) Pour tout x E X, l'application f, est de classe Cq et l'application x » f, est un
morphisme de classe CP de X dans la variété Vq(Y; Z).
15.3.8. Soit Y une K-variété compacte de classe Cs, avec s 2 r + 1 , et soit Diffr(Y) le
groupe des automorphismes de classe Cr de la variété réelle Y, de classe Cr sousjacente à Y. L'ensemble DifP(Y) est ouvert dans Vr(Y; Y) = Vr(Y,; Y); on le munit
de la structure de K-variété de classe Cs-' induite par celle de V(Y; Y). La loi de
composition Cf, g) ~g of fait de Diffr(Y) un groupe topologique. Par contre, la
structure de variété de classe CPr n'est pas en général compatible avec la structure de
groupe de Diffr(Y). Pour f E DifP(Y), l'application g H g 0 f de Diffr(Y) dans lui2 m&ne est de classe Cs-', mais l'application g - f 0 g n'est pas en général de classe Cl.
En particulier, Diffr(Y) n'est pas en général un groupe de Lie.(l)
Supposons s = W. Soit Diff "(Y) le groupe des automorphismes de classe Cm de Y; munissonsle de la topologie la moins fine rendant continues les injections canoniques Diff "(Y) -+ Diff'(Y)
pour tout entier r 3 1. Soit d'autre part Diffo(Y) le groupe des homéomorphismes de Y, muni de la
topologie de la convergence uniforme (TG, X, $3, no 5, prop. 11). Si dim Y 2 1, il est impossible de
trouver un groupe de Lie G et des homomorphismes continus de Diff "(Y) dans G et de G dans
Diffo(Y) dont le composé soit l'injection canonique (cf. LIE, III, Q 4, exerc. 7).
propriétés suivantes sont équivalentes :
a) Quelles que soient les cartes c = (U, v, E) de X, d = (V, y5, F) de Y et
e = (W, O, G) de Z telles que f(U x V) c W, les dérivées partielles DED:' de
l'expressionf de f dans les cartes c x d et e (5.3.2) existent et sont continues pour
p' G p e t q ' < q.
b) Pour tout x E X, l'application f, est de classe Cq et l'application x » f, est un
morphisme de classe CP de X dans la variété Vq(Y; Z).
15.3.8. Soit Y une K-variété compacte de classe Cs, avec s 2 r + 1 , et soit Diffr(Y) le
groupe des automorphismes de classe Cr de la variété réelle Y, de classe Cr sousjacente à Y. L'ensemble DifP(Y) est ouvert dans Vr(Y; Y) = Vr(Y,; Y); on le munit
de la structure de K-variété de classe Cs-' induite par celle de V(Y; Y). La loi de
composition Cf, g) ~g of fait de Diffr(Y) un groupe topologique. Par contre, la
structure de variété de classe CPr n'est pas en général compatible avec la structure de
groupe de Diffr(Y). Pour f E DifP(Y), l'application g H g 0 f de Diffr(Y) dans lui2 m&ne est de classe Cs-', mais l'application g - f 0 g n'est pas en général de classe Cl.
En particulier, Diffr(Y) n'est pas en général un groupe de Lie.(l)
Supposons s = W. Soit Diff "(Y) le groupe des automorphismes de classe Cm de Y; munissonsle de la topologie la moins fine rendant continues les injections canoniques Diff "(Y) -+ Diff'(Y)
pour tout entier r 3 1. Soit d'autre part Diffo(Y) le groupe des homéomorphismes de Y, muni de la
topologie de la convergence uniforme (TG, X, $3, no 5, prop. 11). Si dim Y 2 1, il est impossible de
trouver un groupe de Lie G et des homomorphismes continus de Diff "(Y) dans G et de G dans
Diffo(Y) dont le composé soit l'injection canonique (cf. LIE, III, Q 4, exerc. 7).