Pour qu'un B-morphisme de classe CrpS soit un B-isomorphisme de classe CrsS, il suffit
que ce soit un isomorphisme de classe C1.
Soit g': B' -+ B" un morphisme de variétés de classe Cr et soit X" une variété de
classe Cr.$ au-dessus de B". Si h: X -t X' est un g-morphisme de classe Cr,"t
h': X' + X" est un g'-morphisme de classe Cr.", alors h' 0 h est un (gr 0 g)-morphisme
de classe Crps.
15.2.6. Soient X une variété de classe Cgq au-dessus de B et p sa projection; on suppose s # w , X séparée etp propre (TG, 1, 5 10, no 1). Alors, pour tout b E B, il existe
un voisinage ouvert U de b et un Cr%somorphisme de p-l(U) sur U x X,, oh
xb = p-'(b).
15.2.7. Soient X une variété de classe Cgs au-dessus de B,p sa projection, et a: B -+ X
une section de classe Cr. On appelle voisinage tubulaire de classe C2 de o un triplet
(M, N, y) où M est un fibré K-vectoriel, de base B et de classe Cr, N est un voisinage
ouvert de u(B) dans X, et y est un B-isomorphisme de classe C; V e N sur un ouvert de
M (cf. 15.2.3 (iv)), transformant la section o en la section nulle de M.
Supposons que s 2 r + 1 et que la variété B soit paracompacte et admette des
partitions de l'unité de classe Cr (5.3.6); il existe alors des voisinages tubulaires de
classe Cz de o.
15.3. Variétés de sections et variétés d'applications
15.3.1 (a Structure d'espace de Banach sur un espace de sections )>). Soit B une
variété différentielle compacte de classe C; soit M un fibré vectoriel sur K (7.3.4) de
base B et de classe Cr; notons Mr la variété différentielle de classe Cr sous-jacente à M,
et soit YG(B) le K-espace vectoriel des sections de classe Cr de M (7.4.1). La topologie
induite sur G(B) par la topologie de la C'-convergence uniforme de V(B; M,)
(12.3.10) fait de %(B) un K-espace de Banach.
Soit (Ui)i,I un recouvrement ouvert fini de B et, pour tout i ~ 1 ,
soient
ci = (Ui, yi, Ei) une carte de B et ti = (U,, &, Fi) une carte K-vectorielle de M (8.8.1).
Munissons chacun des Ei (resp. F,) d'une norme compatible avec sa structure d'espace
de Banach sur R (resp. K) et soit (Vi)i.l un recouvrement fermé de B, tel que V, c U,
pour tout i E 1. Pour f E 9&B) et i E 1, notons l'application de qi(U,) dans F,
obtenue par composition:
L'application f ++ 1 1 f 11 est une norme sur %OB), qui dkfinit la structure d'espace de
Banach sur K de iQ,'(B).
Si N est un ouvert de l'espace M, l'ensemble Y @ ;
N) des sections f E 9 3 B )
telles que f (B) c N est ouvert dans %(B).
15.3.2. Soit B une variété différentielle compacte de classe Cr, et soit X une variété
que ce soit un isomorphisme de classe C1.
Soit g': B' -+ B" un morphisme de variétés de classe Cr et soit X" une variété de
classe Cr.$ au-dessus de B". Si h: X -t X' est un g-morphisme de classe Cr,"t
h': X' + X" est un g'-morphisme de classe Cr.", alors h' 0 h est un (gr 0 g)-morphisme
de classe Crps.
15.2.6. Soient X une variété de classe Cgq au-dessus de B et p sa projection; on suppose s # w , X séparée etp propre (TG, 1, 5 10, no 1). Alors, pour tout b E B, il existe
un voisinage ouvert U de b et un Cr%somorphisme de p-l(U) sur U x X,, oh
xb = p-'(b).
15.2.7. Soient X une variété de classe Cgs au-dessus de B,p sa projection, et a: B -+ X
une section de classe Cr. On appelle voisinage tubulaire de classe C2 de o un triplet
(M, N, y) où M est un fibré K-vectoriel, de base B et de classe Cr, N est un voisinage
ouvert de u(B) dans X, et y est un B-isomorphisme de classe C; V e N sur un ouvert de
M (cf. 15.2.3 (iv)), transformant la section o en la section nulle de M.
Supposons que s 2 r + 1 et que la variété B soit paracompacte et admette des
partitions de l'unité de classe Cr (5.3.6); il existe alors des voisinages tubulaires de
classe Cz de o.
15.3. Variétés de sections et variétés d'applications
15.3.1 (a Structure d'espace de Banach sur un espace de sections )>). Soit B une
variété différentielle compacte de classe C; soit M un fibré vectoriel sur K (7.3.4) de
base B et de classe Cr; notons Mr la variété différentielle de classe Cr sous-jacente à M,
et soit YG(B) le K-espace vectoriel des sections de classe Cr de M (7.4.1). La topologie
induite sur G(B) par la topologie de la C'-convergence uniforme de V(B; M,)
(12.3.10) fait de %(B) un K-espace de Banach.
Soit (Ui)i,I un recouvrement ouvert fini de B et, pour tout i ~ 1 ,
soient
ci = (Ui, yi, Ei) une carte de B et ti = (U,, &, Fi) une carte K-vectorielle de M (8.8.1).
Munissons chacun des Ei (resp. F,) d'une norme compatible avec sa structure d'espace
de Banach sur R (resp. K) et soit (Vi)i.l un recouvrement fermé de B, tel que V, c U,
pour tout i E 1. Pour f E 9&B) et i E 1, notons l'application de qi(U,) dans F,
obtenue par composition:
L'application f ++ 1 1 f 11 est une norme sur %OB), qui dkfinit la structure d'espace de
Banach sur K de iQ,'(B).
Si N est un ouvert de l'espace M, l'ensemble Y @ ;
N) des sections f E 9 3 B )
telles que f (B) c N est ouvert dans %(B).
15.3.2. Soit B une variété différentielle compacte de classe Cr, et soit X une variété