une structure de variété différentielle de classe C et une seule, telle que, pour toute
carte (V, #, F) de la Cr.s-variété X, l'ensemble V soit ouvert dans X et que + soit un
C'-isomorphisme de la sous-variété ouverte V de X sur la sous-variété ouverte +(V) de
B x F. Si l'on munit X de cette structure, l'application p: X -t B est une submersion
de classe Cr.
Soit b E B et soit X, = p-l(b). 11 existe une structure de K-variété de classe Cs
sur X,, et une seule, telle que, pour toute carte û = (V, $, F) de la Cr."-variété X, le
triplet 0, = (V n X,, pr, 0 #I(V n X,), F) soit une carte de la variété X,. La structure
de variété différentielle de classe Cr sous-jacente à cette structure est induite par la
structure de variété différentielle de classe Cr sur X définie ci-dessus.
15.2.3. Exemples
(i) Lorsque B est réduite à un point, la notion de variété de classe Cg' au-dessus de
B est équivalente à celle de K-variété de classe Cs.
(ii) Soit Z une K-variété de classe Cs; prenons X = B x Z et p = pr,. Il existe
sur X une structure de variété de classe Cr." au-dessus de B, et une seule, telle que,
pour toute carte (U, #, L) de Z, (B x U, Id, x +, L) soit une carte de C',"-variété X.
(iü) Soient X une variété de classe C' sS au-dessus de B, et Y un ouvert de X. La
structure de variété de classe CrsS de Y induite par celle de X se définit comme dans le
cas des variétés (cf. 5.2.3).
(iv) Soit M un fibré vectoriel sur K de base B et de classe Cr (7.3.4), et soit T sa
projection sur B. Il existe sur M une structure de variété de classe C : " au-dessus de B,
et une seule, telie que, si (U, #, F) est une carte K-vectorielle de M (8.8.1), le triplet
(?r-'(U), $, F) soit une carte de la Cg "-variété M.
15.2.4. Soient X une variété de classe Cr." au-dessus de B, p sa projection, L un
K-espace de Banach, et f une application de X dans L. On dit que f est de classe Cr. %i,
pour toute carte (V, $, F) de la Cr. $-variété X, l'application (f IV) 0 +-l de $0 dans L
est de classe Cr."15.1.6).
Une telle application est de classe Cr et sa restriction à
Xb pour b E B, est de classe Cs.
15.2.5. Soit g: B +B' un morphisme de variétés différentielles de classe Cr, soit
X (resp. X') une variété de classe Cr." au-dessus de B
h
(resp. Br), et soit h une application de X dans X'. On
X-X'
dit que h est un g-morphisme de classe Cr.$ si les trois
1
1
conditions suivantes sont satisfaites:
'
1
1"
a ) p f o h = g o p ;
B - B' b) h est continue;
C) pour toute carte (V' , +', F') de la C'."variété X',
l'application pr, 0 yY 0 h de V = h-l(V) dans F' est de
classe Cr."au sens de 15.2.4) lorsqu'on munit l'ouvert V de la structure induite par
celle de X (15.2.3, (iii)).
Lorsque B = B' et g = Id,, on dit aussi que h est un B-morphisme de classe C T p s .
carte (V, #, F) de la Cr.s-variété X, l'ensemble V soit ouvert dans X et que + soit un
C'-isomorphisme de la sous-variété ouverte V de X sur la sous-variété ouverte +(V) de
B x F. Si l'on munit X de cette structure, l'application p: X -t B est une submersion
de classe Cr.
Soit b E B et soit X, = p-l(b). 11 existe une structure de K-variété de classe Cs
sur X,, et une seule, telle que, pour toute carte û = (V, $, F) de la Cr."-variété X, le
triplet 0, = (V n X,, pr, 0 #I(V n X,), F) soit une carte de la variété X,. La structure
de variété différentielle de classe Cr sous-jacente à cette structure est induite par la
structure de variété différentielle de classe Cr sur X définie ci-dessus.
15.2.3. Exemples
(i) Lorsque B est réduite à un point, la notion de variété de classe Cg' au-dessus de
B est équivalente à celle de K-variété de classe Cs.
(ii) Soit Z une K-variété de classe Cs; prenons X = B x Z et p = pr,. Il existe
sur X une structure de variété de classe Cr." au-dessus de B, et une seule, telle que,
pour toute carte (U, #, L) de Z, (B x U, Id, x +, L) soit une carte de C',"-variété X.
(iü) Soient X une variété de classe C' sS au-dessus de B, et Y un ouvert de X. La
structure de variété de classe CrsS de Y induite par celle de X se définit comme dans le
cas des variétés (cf. 5.2.3).
(iv) Soit M un fibré vectoriel sur K de base B et de classe Cr (7.3.4), et soit T sa
projection sur B. Il existe sur M une structure de variété de classe C : " au-dessus de B,
et une seule, telie que, si (U, #, F) est une carte K-vectorielle de M (8.8.1), le triplet
(?r-'(U), $, F) soit une carte de la Cg "-variété M.
15.2.4. Soient X une variété de classe Cr." au-dessus de B, p sa projection, L un
K-espace de Banach, et f une application de X dans L. On dit que f est de classe Cr. %i,
pour toute carte (V, $, F) de la Cr. $-variété X, l'application (f IV) 0 +-l de $0 dans L
est de classe Cr."15.1.6).
Une telle application est de classe Cr et sa restriction à
Xb pour b E B, est de classe Cs.
15.2.5. Soit g: B +B' un morphisme de variétés différentielles de classe Cr, soit
X (resp. X') une variété de classe Cr." au-dessus de B
h
(resp. Br), et soit h une application de X dans X'. On
X-X'
dit que h est un g-morphisme de classe Cr.$ si les trois
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conditions suivantes sont satisfaites:
'
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1"
a ) p f o h = g o p ;
B - B' b) h est continue;
C) pour toute carte (V' , +', F') de la C'."variété X',
l'application pr, 0 yY 0 h de V = h-l(V) dans F' est de
classe Cr."au sens de 15.2.4) lorsqu'on munit l'ouvert V de la structure induite par
celle de X (15.2.3, (iii)).
Lorsque B = B' et g = Id,, on dit aussi que h est un B-morphisme de classe C T p s .