L'application p: W -t F2 est dite de classe Cr.Qi, pour toute carte c de la variété B,
l'application p,: WC -+ F, est de classe Cr*"u sens de 15.1.1 et 15.1.2; il suffit que
cette condition soit réalisée pour une famille de cartes dont les domaines recouvrent
B. Une telle application p est de classe Cr (pour les structures réelles sous-jacentes de
B x FI et F,); sa restriction à l'ensemble W n ((6) x FI) est un K-morphisme de classe
Cs pour tout b E B.
15.1.7. Soient B, et B2 des variétés différentielles de classe Cr, et g: B, + B, un
morphisme de classe Cr. Soit W, (resp. W2) un ouvert de
h
BI x F1 (resp. de B, x F,) et soit h une application de
Wl - - - + W2
W, dans W2. On dit que h est un g-morphisme de classe
P r l /
lm.
Cr*" si pr, 0 h = g 0 pr, et si pr2 0 h est une application
de classe Cr." (15.1.6) de W, dans F2.
Soient de même B3 une variété de classe Cr, W3 un
BI - B2 ouvert de Ba x Fa, où F3 est un K-espace de Banach, et
g' un morphisme de classe Cr de B, dans Bs. Si h (resp.
h') est un g-morphisme (resp. g'-morphisme) de classe Cr."e W, dans W2 (resp. de
W, dans W3), le composé h' O h est un (g' 0 g)-morphisme de classe Cr." de W, dans
w3.
15.2. VaPiété de classe Cr.S au-dessus d'une variété de classe Cr
Dans tout ce no, on note B une variété différentielle de classe Cr.
15.2.1. Soit X un ensemble muni d'une application p: X -+ B. On appelle carte de X
au-dessus de B un triplet 8 = (V, $, F), où V est une partie de X, F un K-espace de
Banach, et Sune bijection de V sur un ouvert de B x F telle que pr, 0 $ = plV.
Soit (8i)iEI = ((Vi, Fi))iEI une famille de cartes de X au-dessus de B. On dit
que les Bi sont Cr*S-compatibles si, pour tout couple d'éléments i, j de 1, les deux conditions suivantes sont satisfaites:
a) z,bi(Vi n V,) est ouvert dans B x Fi et #$(Vi n V,) est ouvert dans B x Fj;
b) l'application z, bi 0 +y1 de $Oi n Vj) dans z,bi(Vi n Vj) est un Id,-morphisme
de classe CT."15.1.7).
Une famille ((Vi, Si,
de cartes de X au-dessus de B qui sont Cr.s-compatibles
et dont les domaines Vi recouvrent X est appelée un CT.s-atlas de X (au-dessus de B).
Deux Cr.s-atlas sont dits équivalents si leur réunion est un Cr."-atlas; la relation de
Cr. $-équivalence entre atlas est une relation d'équivalence. Une classe d'équivalence de
Cvs-atlas s'appelle une structure de variété de classe Cr." au-dessus de B sur l'ensemble
X; lorsque l'on désire préciser K, on écrit Ck au lieu de Cr'" Si X est une variété de
classe Cr." au-dessus de B, on dit que p: X + B est la projection de X; si 8 est une
carte de X au-dessus de B, on dit que 8 est une carte de la Cr."variété X si 8 appartient
à un atlas de la classe d'équivalence définissant la structure de X.
15.2.2. Soit X une variété de classe Cr.$ au-dessus de B, de projection p. Il existe sur X
l'application p,: WC -+ F, est de classe Cr*"u sens de 15.1.1 et 15.1.2; il suffit que
cette condition soit réalisée pour une famille de cartes dont les domaines recouvrent
B. Une telle application p est de classe Cr (pour les structures réelles sous-jacentes de
B x FI et F,); sa restriction à l'ensemble W n ((6) x FI) est un K-morphisme de classe
Cs pour tout b E B.
15.1.7. Soient B, et B2 des variétés différentielles de classe Cr, et g: B, + B, un
morphisme de classe Cr. Soit W, (resp. W2) un ouvert de
h
BI x F1 (resp. de B, x F,) et soit h une application de
Wl - - - + W2
W, dans W2. On dit que h est un g-morphisme de classe
P r l /
lm.
Cr*" si pr, 0 h = g 0 pr, et si pr2 0 h est une application
de classe Cr." (15.1.6) de W, dans F2.
Soient de même B3 une variété de classe Cr, W3 un
BI - B2 ouvert de Ba x Fa, où F3 est un K-espace de Banach, et
g' un morphisme de classe Cr de B, dans Bs. Si h (resp.
h') est un g-morphisme (resp. g'-morphisme) de classe Cr."e W, dans W2 (resp. de
W, dans W3), le composé h' O h est un (g' 0 g)-morphisme de classe Cr." de W, dans
w3.
15.2. VaPiété de classe Cr.S au-dessus d'une variété de classe Cr
Dans tout ce no, on note B une variété différentielle de classe Cr.
15.2.1. Soit X un ensemble muni d'une application p: X -+ B. On appelle carte de X
au-dessus de B un triplet 8 = (V, $, F), où V est une partie de X, F un K-espace de
Banach, et Sune bijection de V sur un ouvert de B x F telle que pr, 0 $ = plV.
Soit (8i)iEI = ((Vi, Fi))iEI une famille de cartes de X au-dessus de B. On dit
que les Bi sont Cr*S-compatibles si, pour tout couple d'éléments i, j de 1, les deux conditions suivantes sont satisfaites:
a) z,bi(Vi n V,) est ouvert dans B x Fi et #$(Vi n V,) est ouvert dans B x Fj;
b) l'application z, bi 0 +y1 de $Oi n Vj) dans z,bi(Vi n Vj) est un Id,-morphisme
de classe CT."15.1.7).
Une famille ((Vi, Si,
de cartes de X au-dessus de B qui sont Cr.s-compatibles
et dont les domaines Vi recouvrent X est appelée un CT.s-atlas de X (au-dessus de B).
Deux Cr.s-atlas sont dits équivalents si leur réunion est un Cr."-atlas; la relation de
Cr. $-équivalence entre atlas est une relation d'équivalence. Une classe d'équivalence de
Cvs-atlas s'appelle une structure de variété de classe Cr." au-dessus de B sur l'ensemble
X; lorsque l'on désire préciser K, on écrit Ck au lieu de Cr'" Si X est une variété de
classe Cr." au-dessus de B, on dit que p: X + B est la projection de X; si 8 est une
carte de X au-dessus de B, on dit que 8 est une carte de la Cr."variété X si 8 appartient
à un atlas de la classe d'équivalence définissant la structure de X.
15.2.2. Soit X une variété de classe Cr.$ au-dessus de B, de projection p. Il existe sur X