(pour la structure de variété différentielle sous-jacente à la structure de K-variété de
Pk(Fl; F2)), tels que:
(i) U x ( y , + B(R)) c V, oh B(R) est la boule ouverte de rayon R dans FI;
m
(ii) si X E U e t p < r, on a 2 IIDphk(x)llRk < M;
k = O
m
(iii) si x E U et t E B(R), on a 2 hk(x)(t) = f(x, y. + t).
k = O
Ces propriétés entraînent :
(iv) Pour tout t E B(R), la fonction x ++ f(x, y, + t) est de classe Cr dans U, et
l'on a
m
Dg f (x, y, + t) = 2 DPh,(x)(t) si p < r et x E U.
k = O
On ne change pas la déhition des fonctions de classes Cr." si l'on remplace la
condition (ii) ci-dessus par l'une des deux conditions suivantes :
(5') Les hk définissent un morphisme de classe Cr de U dans l'espace de Banach
réel sous-jacent au K-espace de Banach 2 3 F , ; F2) (3.1.1 et 3.1.2).
(ii") Les h, définissent un morphisme de classe Cr de U dans l'espace de Banach
réel sous-jacent au K-espace de Banach 3&~,; F,) (3.1.5).
15.1.3. Supposons K = R. Pour que f soit de classe CR", il faut et il suffit que f
soit de classe Cr. (15.1.1) et que, pour tout (x,, y,) E V, il existe un voisinage V, de
(x,, y,) dans V et des nombres réels positifs A et M tels que
pour tout p < r, tout q 2 O et tout (x, y) E Vo.
15.1.4. Supposons K = C. Pour que f soit de classe C2 ", il faut et il suffit que les
deux conditions suivantes soient vérgées :
a) f est de classe Cg" pour les structures réelles sous-jacentes à F, et F2.
b) Pour tout (x, y) E V, DFi f (x, y) est une application C-linéaire de F, dans F2.
Lorsque F1 est de dimension finie, on peut remplacer a) par:
a') f est de classe Cr.
15.1.5. L'ensemble des applications de classe Cr.Qe V dans F2 ne dépend pas du
choix des normes sur E, F,, F,.
15.1.6. Soit B une variété différentielle de classe Cr, soit W un ouvert de B x FI, et
soit p une application de W dans F,. Soit c = (U, y, E,) une carte de la variété B.
Notons WC l'ouvert de E, x F, image par p, x IdF, de W n (U x FI) et
p, l'application de WC dans F2 telle que