§ 15. Variétés d'applications l
Dans ce paragraphe, on suppose K = R ou C. La lettre r désigne un entier 2 1 et la
lettre s un élément de NK tel que s 2 r; on a s = w si K = C.
15.1. Fonctions de classe CrrS
Dans ce no, E désigne un espace de Banach réel, F, et F2 des espaces de Banach sur K,
V un ouvert de E x FI et f une application de V dans F,. On munit E, F, et F2 de
normes compatibles avec leurs structures d'espaces de Banach.
15.1.1 (<( Cas différentiable )>). On suppose K = R et s # w. On dit que f est de
classe C2"ou simplement Cr") si elle possède des dérivées partielles itérées DED& f
(1.7.2) continues pour tout couple d'entiers positifs Cp, q) tels quep < r et p + q < S.
Il revient au même de dire que les dérivées partielles itérées DF, f existent et sont de
classe Cr pour tout entier q tel que O < q < s - r. Si s = r, cela équivaut à dire que
f est de classe Cr; si s >, r + 1, cela équivaut à dire que f est de classe Cr et DF, f de
classe Cr. '-l.
Si f est de classe Cr.", et sip < r, p + q + 1 < s, la fonction DED& f a une dérivée
partielle par rapport à FI donnée par:
15.1.2 (<( Cas analytique n
)
. On suppose s = w. Pour tout entier k 2 O, notons
P,(Fl ; F2) l'espace des polynômes-continus homogènes de degré k sur F, à valeurs
dans F,, muni de la norme définie dans l'Appendice du premier fascicule, p. 88, A.2.
On dit que f est de classe Ck " (ou simplement Cr' s'il n'y a pas d'ambiguïté sur
K) si, pour tout point (xo, y,) E V, il existe un voisinage U de xo dans E, des nombres
réels R > O et M >, O et des fonctions h,: U -+l',(FI; F2) (k E IV), de classe Cr
' Les définitions et résultats de ce paragraphe s'étendent sans modifications essentielles au cas oh
I'espace de Banach E du no 15.1 est remplacé par un demi-espace fermé et au cas où la variété B
des no 15.1.6 à 15.3.2 (resp. la variété X du no 15.3.3) est remplacée par une pièce d'une variété
(11.1.2). En particulier, I'espace des applications de classe Cr du segment (O, 1) dans une K-variété
Y de classe Cs (s > r ) a une structure naturelle de K-variété de classe Cs-'.
Une autre généralisation possible consiste à remplacer E et B (resp. X) par des espaces topologiques (resp. par un espace topologique compact) et à prendre r = O. Ainsi, si X est un espace
compact et Y une K-variété de classe Cs, l'ensemble QO(X; Y) des applications continues de X
dans Y a une structure naturelle de K-variété de classe Cs (ia topologie sous-jacente étant celle de
la convergence uniforme).
Nous laissons au lecteur le soin de développer ces brèves indications.
Dans ce paragraphe, on suppose K = R ou C. La lettre r désigne un entier 2 1 et la
lettre s un élément de NK tel que s 2 r; on a s = w si K = C.
15.1. Fonctions de classe CrrS
Dans ce no, E désigne un espace de Banach réel, F, et F2 des espaces de Banach sur K,
V un ouvert de E x FI et f une application de V dans F,. On munit E, F, et F2 de
normes compatibles avec leurs structures d'espaces de Banach.
15.1.1 (<( Cas différentiable )>). On suppose K = R et s # w. On dit que f est de
classe C2"ou simplement Cr") si elle possède des dérivées partielles itérées DED& f
(1.7.2) continues pour tout couple d'entiers positifs Cp, q) tels quep < r et p + q < S.
Il revient au même de dire que les dérivées partielles itérées DF, f existent et sont de
classe Cr pour tout entier q tel que O < q < s - r. Si s = r, cela équivaut à dire que
f est de classe Cr; si s >, r + 1, cela équivaut à dire que f est de classe Cr et DF, f de
classe Cr. '-l.
Si f est de classe Cr.", et sip < r, p + q + 1 < s, la fonction DED& f a une dérivée
partielle par rapport à FI donnée par:
15.1.2 (<( Cas analytique n
)
. On suppose s = w. Pour tout entier k 2 O, notons
P,(Fl ; F2) l'espace des polynômes-continus homogènes de degré k sur F, à valeurs
dans F,, muni de la norme définie dans l'Appendice du premier fascicule, p. 88, A.2.
On dit que f est de classe Ck " (ou simplement Cr' s'il n'y a pas d'ambiguïté sur
K) si, pour tout point (xo, y,) E V, il existe un voisinage U de xo dans E, des nombres
réels R > O et M >, O et des fonctions h,: U -+l',(FI; F2) (k E IV), de classe Cr
' Les définitions et résultats de ce paragraphe s'étendent sans modifications essentielles au cas oh
I'espace de Banach E du no 15.1 est remplacé par un demi-espace fermé et au cas où la variété B
des no 15.1.6 à 15.3.2 (resp. la variété X du no 15.3.3) est remplacée par une pièce d'une variété
(11.1.2). En particulier, I'espace des applications de classe Cr du segment (O, 1) dans une K-variété
Y de classe Cs (s > r ) a une structure naturelle de K-variété de classe Cs-'.
Une autre généralisation possible consiste à remplacer E et B (resp. X) par des espaces topologiques (resp. par un espace topologique compact) et à prendre r = O. Ainsi, si X est un espace
compact et Y une K-variété de classe Cs, l'ensemble QO(X; Y) des applications continues de X
dans Y a une structure naturelle de K-variété de classe Cs (ia topologie sous-jacente étant celle de
la convergence uniforme).
Nous laissons au lecteur le soin de développer ces brèves indications.