(fiP, Qn-P-l) + 51, = 51"-l, est simplement le produit extérieur (sur chaque fibre).
14.4.3 (a Laplacien O) . On prend K = R, r = co, X = Rn, E = F = Kx; on note
n
5' (1 < i < n) les fonctions coordonnées sur X; on pose Di = a/ôP, et L = 2 D;.
i = 1
L'opérateur L est un opérateur différentiel scalaire d'ordre < 2. Si l'on identifie 51 à
K, grâce au repère w = dfl A . . - A df", on a = F = Kx (cf. 14.3.3, exemple) et
tL = L.
Pour 1 < i < n, posons wf = (-1)'-Ide1 A - - - A d e - l A dP+' A A den.
Les wf forment un repère de 51, = 51"-l. Si f G Q1(X), notons g r a d 0 la section
n
2 Di(f)wf de 51,. Il existe un opérateur de Green G pour L tel que l'on ait
f = l
G(u, v) = u . grad(u) - u. grad(v) pour tout ouvert U de X et u, v dans V1(U).
En particulier, soit A une pièce compacte de Rn. Orientons Rn, munissons A de
l'orientation induite par celle de Rn et aA de l'orientation correspondante (11.2.1).
On a
I, (Lu). m - / A u .OO = LA (v. grad(u) - u . grad@))
pour u, v dans Q1(X).