14.4. Exemples
On suppose X pure de dimension finie n. On la suppose aussi munie d'une structure de
variété de classe Cr+ compatible avec la structure de classe Cr donnée.
14.4.1 (u Transformations infinitésimales n
)
. Soit T un foncteur vectoriel en dimension
frmie pour les isomorphismes, de classe Cr; on suppose que, pour tout espace vectoriel
V de dimension finie, r(V) est de dimension finie. On note E, le fibré vectoriel r(T(X)) ;
il est de classe Cr.
Soit t un champ de vecteurs de classe Cr sur X. Il existe un opérateur différentiel
D de type E, -+ E, et d'ordre < 1 tel que
pour tout ouvert U de X et tout s E 9:(U), cf. 8.4.3. Un tel opérateur D est unique; on
le note (O,), ou simplement 8,. Son symbole est la section 5 @ Id,, du fibré vectoriel
Si V est un K-espace vectoriel de dimension finie, posons
?(V) = ~ ( T ( V ) ;
Altn(V; K)) = T O * €3 Anv*,
et si u: V1 -t V, est un isomorphisme, définissons ?(u): ?(VI) -+ TOI,) par transport de
structure. On obtient ainsi un foncteur vectoriel en dimension finie 7. Le fibré Ei =
?(T(X)) s'identifie de manière évidente au fibré (E3"; le transposé de (83, est -(O& et
la formule (1) du no 14.3.4 prend la forme
+ = d(i(f)(u.v)).
14.4.2 (u Différentielle extérieure ))). Pour tout entier p 2 O on pose
Qp = Alt"(T(X); Kx).
Il existe un opérateur différentiel D de type Qp 4 Q P + l et d'ordre < 1 tel que
DU(w) = du
pour tout ouvert U de X et tout w E 9 % (U). Un tel opérateur D est unique; on le note
d (ou dp si l'on tient à préciser l'entier p).
Son symbole est l'élément de S1(Qp, QP+l) obtenu de la manière suivante: on a
tout d'abord
S1(QP, QP + l) = T(X) @ 9(Qp; QP + l)
= z ( n l ; ~ Q P ;
ap+l)) = z ( n l , QP; slP+ 11,
où 2' (Q1, Qp; QP+l) désigne le fibré des applications bilinéaires de Q1 x Qp dans
ClP+l. Or le produit extérieur (a, 19) H a A 13 définit une section canonique de ce
dernier fibré; cette section est le symbole de d,.
Pour déterminer le transposé de d,, on remarque d'abord que le produit extérieur
définit un accouplement Qp x Qn-p-t Qn = Q qui permet d'identifier (a,)- à .
On identifie de la même manière (Qp+ l)- à C P - P - l . Avec ces conventions, le
transposé de dp est (- l)P+ldn-p-l et l'opérateur de Green correspondant, de type
On suppose X pure de dimension finie n. On la suppose aussi munie d'une structure de
variété de classe Cr+ compatible avec la structure de classe Cr donnée.
14.4.1 (u Transformations infinitésimales n
)
. Soit T un foncteur vectoriel en dimension
frmie pour les isomorphismes, de classe Cr; on suppose que, pour tout espace vectoriel
V de dimension finie, r(V) est de dimension finie. On note E, le fibré vectoriel r(T(X)) ;
il est de classe Cr.
Soit t un champ de vecteurs de classe Cr sur X. Il existe un opérateur différentiel
D de type E, -+ E, et d'ordre < 1 tel que
pour tout ouvert U de X et tout s E 9:(U), cf. 8.4.3. Un tel opérateur D est unique; on
le note (O,), ou simplement 8,. Son symbole est la section 5 @ Id,, du fibré vectoriel
Si V est un K-espace vectoriel de dimension finie, posons
?(V) = ~ ( T ( V ) ;
Altn(V; K)) = T O * €3 Anv*,
et si u: V1 -t V, est un isomorphisme, définissons ?(u): ?(VI) -+ TOI,) par transport de
structure. On obtient ainsi un foncteur vectoriel en dimension finie 7. Le fibré Ei =
?(T(X)) s'identifie de manière évidente au fibré (E3"; le transposé de (83, est -(O& et
la formule (1) du no 14.3.4 prend la forme
14.4.2 (u Différentielle extérieure ))). Pour tout entier p 2 O on pose
Qp = Alt"(T(X); Kx).
Il existe un opérateur différentiel D de type Qp 4 Q P + l et d'ordre < 1 tel que
DU(w) = du
pour tout ouvert U de X et tout w E 9 % (U). Un tel opérateur D est unique; on le note
d (ou dp si l'on tient à préciser l'entier p).
Son symbole est l'élément de S1(Qp, QP+l) obtenu de la manière suivante: on a
tout d'abord
S1(QP, QP + l) = T(X) @ 9(Qp; QP + l)
= z ( n l ; ~ Q P ;
ap+l)) = z ( n l , QP; slP+ 11,
où 2' (Q1, Qp; QP+l) désigne le fibré des applications bilinéaires de Q1 x Qp dans
ClP+l. Or le produit extérieur (a, 19) H a A 13 définit une section canonique de ce
dernier fibré; cette section est le symbole de d,.
Pour déterminer le transposé de d,, on remarque d'abord que le produit extérieur
définit un accouplement Qp x Qn-p-t Qn = Q qui permet d'identifier (a,)- à .
On identifie de la même manière (Qp+ l)- à C P - P - l . Avec ces conventions, le
transposé de dp est (- l)P+ldn-p-l et l'opérateur de Green correspondant, de type