(u, D'(v)>) désigne la section de Q sur U obtenue à partir du couple @(u), v) (resp.
du couple (u, D1(v))) par l'accouplement canonique de F x F (resp. de E x E) dans
Q. L'existence de G implique D' = tD; on dit aussi que G est un opérateur de Green
pour D.
14.3.5. Soit D un opérateur différentiel sur X, de type E + F, d'ordre < k, de classe
Ch avec h E Ng et k < h < r - k. Il existe un opérateur de Green de classe Ch-"+,
pour D dans chacun des cas suivants:
a) K = R, r = CO et X est paracompacte.
b) K est de caractéristique O ou > k, X est isomorphe à un ouvert d'un espace
Kn, et les fibrés E et F sont isomorphes à des fibrés triviaux.
c) L'opérateur D est d'ordre < 1 (cf. 14.3.7).
14.3.6. On conserve les hypothèses et notations de 14.3.3. Si G' (resp. G") est un
opérateur de Green pour D' (resp. D"), il existe un opérateur de. Green H pour
D" 0 Dr et un seul tel que l'on ait
quels que soient l'ouvert U de X et les éléments u E %%(U) et v E Y,(u).
14.3.7. On a S1(E, F) = TG) @I E* @ F (cf. 14.2.2). D'autre part, ,le produit intérieur droit (5, CU) H i(&o (cf. A, III, p. 158) définit un isomorphisme de T(X) @ Q
sur QI; par produit tensoriel avec le dual Q* de Q, on obtient ainsi un isomorphisme
de T(X) sur Q* @ Q,, d'oh des identifications de fibréc vectoriels
S1(E,F) = Q * @ Q l @ E * @ F = ( E é p F * @ Q ) * @ Q l
= (E @ F)* @ Ql = dp(E @ F; QI).
Cela posé, soit D un opérateur différentiel sur X, de type E + F, d'ordre < 1, de
classe Ch avec h E Ng u (O} et h < r - 1. Il existe un unique opérateur de Green pour
D; il est d'ordre 0; c'est un morphisme de classe Ch de E @ F dans QI, et il se déduit
du symbole de D par l'identification précédente.
14.3.8. Supposons que l'on ait K = R, que X soit séparée et orientée (10.2.4) et
soit A une pièce fermée (1 1.1.2) de X. Munissons A de l'orientation induite par celle
de X, et aA de l'orientation correspondante (1 1.2.1). Soient k un entier tel que 2k < r,
D un opérateur différentiel sur X, de type E -t F, d'ordre < k et de classe Ck. Soit G
un opérateur de Green pour D. Soient U un ouvert de X, u E ~Z(U), v E YEk(U) et
supposons que les supports de u et de v rencontrent A suivant un compact. On a alors
lA - J-* = J-* G(u7 0)
(u formule de Green )>). En particulier, si ûA = 0, on a
du couple (u, D1(v))) par l'accouplement canonique de F x F (resp. de E x E) dans
Q. L'existence de G implique D' = tD; on dit aussi que G est un opérateur de Green
pour D.
14.3.5. Soit D un opérateur différentiel sur X, de type E + F, d'ordre < k, de classe
Ch avec h E Ng et k < h < r - k. Il existe un opérateur de Green de classe Ch-"+,
pour D dans chacun des cas suivants:
a) K = R, r = CO et X est paracompacte.
b) K est de caractéristique O ou > k, X est isomorphe à un ouvert d'un espace
Kn, et les fibrés E et F sont isomorphes à des fibrés triviaux.
c) L'opérateur D est d'ordre < 1 (cf. 14.3.7).
14.3.6. On conserve les hypothèses et notations de 14.3.3. Si G' (resp. G") est un
opérateur de Green pour D' (resp. D"), il existe un opérateur de. Green H pour
D" 0 Dr et un seul tel que l'on ait
quels que soient l'ouvert U de X et les éléments u E %%(U) et v E Y,(u).
14.3.7. On a S1(E, F) = TG) @I E* @ F (cf. 14.2.2). D'autre part, ,le produit intérieur droit (5, CU) H i(&o (cf. A, III, p. 158) définit un isomorphisme de T(X) @ Q
sur QI; par produit tensoriel avec le dual Q* de Q, on obtient ainsi un isomorphisme
de T(X) sur Q* @ Q,, d'oh des identifications de fibréc vectoriels
S1(E,F) = Q * @ Q l @ E * @ F = ( E é p F * @ Q ) * @ Q l
= (E @ F)* @ Ql = dp(E @ F; QI).
Cela posé, soit D un opérateur différentiel sur X, de type E + F, d'ordre < 1, de
classe Ch avec h E Ng u (O} et h < r - 1. Il existe un unique opérateur de Green pour
D; il est d'ordre 0; c'est un morphisme de classe Ch de E @ F dans QI, et il se déduit
du symbole de D par l'identification précédente.
14.3.8. Supposons que l'on ait K = R, que X soit séparée et orientée (10.2.4) et
soit A une pièce fermée (1 1.1.2) de X. Munissons A de l'orientation induite par celle
de X, et aA de l'orientation correspondante (1 1.2.1). Soient k un entier tel que 2k < r,
D un opérateur différentiel sur X, de type E -t F, d'ordre < k et de classe Ck. Soit G
un opérateur de Green pour D. Soient U un ouvert de X, u E ~Z(U), v E YEk(U) et
supposons que les supports de u et de v rencontrent A suivant un compact. On a alors
lA
(u formule de Green )>). En particulier, si ûA = 0, on a