La propriété précédente (qui doit être vérifiée quels que soient 6, s et t ) détermine
tD de façon unique.'l' L'opérateur tD est appelé le transposé de D; il est de classe
Ch- k. Si h 2 2k, le transposé de 'D est défini et égal à D (compte tenu des identifications
de 5 et F avec E et F respectivement).
L'application D H tD est K-linéaire. Si k = O, i.e. si D est un morphisme de E
dans F, 'D est le morphisme 2 ' 0 ; Id,) de F dans E.
Le symbole de tD se déduit du symbole de D au moyen de l'isomorphisme
TSk(T(X)) 8 .mE; F) -+ TSk(T(X)) @ a? ; Q
qui est le produit tensoriel de l'automorphisme (- l)k de TSk(T(X)) et de l'isomorphisme u. * Z(U; Idn) de 9 ( E ; F) sur 9 ( F ; l
?
)
.
14.3.3 (@Transposé d'un composé )>). Les notations et hypothèses étant celles de
14.1.8, supposons que D' soit de classe Ch' et D" de classe Ch" avec hl, h" dans
N, u {O}, h' 2 k' + 2k" et h" 2 k" + 2k'.
Alors les transposés de D', D" et D" 0 D' sont définis, ainsi que le composé de
tD' et 'D, et l'on a
t@" o D') = tD' o tD".
En particulier, les hypothèses et notations étant celles de 14.3.2, et f étant une
fonction de classe Ch' sur X avec 2k < h', on a '(D of) = f 0 tD.
Exemple. - Prenons pour X un ouvert de Kn; notons fl, . . . ,tn les fonctions coordonnées sur X et identifions Q à K, au moyen du repère w = d f l A - - A dfn. Si
E = F = K x , o n a
E = F = 9(KX; Q) = 6P(Kx; Kx) = Kx,
et l'opération D H 'D transforme opérateurs différentiels scalaires en opérateurs
différentiels scalaires. On a, par exemple
' (A? = (- l)lal Aa
pour tout a E W.
Si r est infini, la transposition est un anti-automorphisme de l'algèbre .9gr'0(,, Kd.
14.3.4. Soit k un entier positif tel que K soit de caractéristique O ou > k. Soit 0, le
fibré vectoriel An-'T(x)* = Altn-l (TG); Kx). Les notations et hypothèses étant
celles de 14.3.2, soit en outre D' un opérateur différentiel sur X, de type F + E,
d'ordre < k; on appelle opérateur de Green pour (D, D') tout opérateur multidifférentiel G (cf. 14.1.1 1) de type (E, F) 4 QI, d'ordre < k - 1 (2) et de classe Cn (avec h 2 l),
tel que l'on ait l'identité
(1)
- = d(G(u, 4 )
quels que soient l'ouvert U de X et les éléments u E Sk(lJ), u E %k(U). Précisons que,
dans cette formule, d désigne la différentiation extérieure (8.3.5) et
a Lorsque k = O, on convient que cela signifie que G = 0.
tD de façon unique.'l' L'opérateur tD est appelé le transposé de D; il est de classe
Ch- k. Si h 2 2k, le transposé de 'D est défini et égal à D (compte tenu des identifications
de 5 et F avec E et F respectivement).
L'application D H tD est K-linéaire. Si k = O, i.e. si D est un morphisme de E
dans F, 'D est le morphisme 2 ' 0 ; Id,) de F dans E.
Le symbole de tD se déduit du symbole de D au moyen de l'isomorphisme
TSk(T(X)) 8 .mE; F) -+ TSk(T(X)) @ a? ; Q
qui est le produit tensoriel de l'automorphisme (- l)k de TSk(T(X)) et de l'isomorphisme u. * Z(U; Idn) de 9 ( E ; F) sur 9 ( F ; l
?
)
.
14.3.3 (@Transposé d'un composé )>). Les notations et hypothèses étant celles de
14.1.8, supposons que D' soit de classe Ch' et D" de classe Ch" avec hl, h" dans
N, u {O}, h' 2 k' + 2k" et h" 2 k" + 2k'.
Alors les transposés de D', D" et D" 0 D' sont définis, ainsi que le composé de
tD' et 'D, et l'on a
t@" o D') = tD' o tD".
En particulier, les hypothèses et notations étant celles de 14.3.2, et f étant une
fonction de classe Ch' sur X avec 2k < h', on a '(D of) = f 0 tD.
Exemple. - Prenons pour X un ouvert de Kn; notons fl, . . . ,tn les fonctions coordonnées sur X et identifions Q à K, au moyen du repère w = d f l A - - A dfn. Si
E = F = K x , o n a
E = F = 9(KX; Q) = 6P(Kx; Kx) = Kx,
et l'opération D H 'D transforme opérateurs différentiels scalaires en opérateurs
différentiels scalaires. On a, par exemple
' (A? = (- l)lal Aa
pour tout a E W.
Si r est infini, la transposition est un anti-automorphisme de l'algèbre .9gr'0(,, Kd.
14.3.4. Soit k un entier positif tel que K soit de caractéristique O ou > k. Soit 0, le
fibré vectoriel An-'T(x)* = Altn-l (TG); Kx). Les notations et hypothèses étant
celles de 14.3.2, soit en outre D' un opérateur différentiel sur X, de type F + E,
d'ordre < k; on appelle opérateur de Green pour (D, D') tout opérateur multidifférentiel G (cf. 14.1.1 1) de type (E, F) 4 QI, d'ordre < k - 1 (2) et de classe Cn (avec h 2 l),
tel que l'on ait l'identité
(1)
quels que soient l'ouvert U de X et les éléments u E Sk(lJ), u E %k(U). Précisons que,
dans cette formule, d désigne la différentiation extérieure (8.3.5) et
a Lorsque k = O, on convient que cela signifie que G = 0.