où le produit figurant dans le terme de droite est défini par l'accouplement (*) cidessus.
Supposons maintenant K de caractéristique zéro, et soit x E X. Notons o (resp.
u', of') le k-symbole (resp. le k'-symbole, le kW-symbole) de D" 0 D' (resp. D', D") en x.
Pour tout w E T,(X)*, on a alors (avec les notations de la fin de 14.2.2):
14.3. Transposition
Dans ce no, on suppose que X est pure de dimension n.
14.3.1. Soit Q = det(T(X)*), cf. 7.9.9; c'est un fibré vectoriel de rang 1 en chaque
point, de base X, et de classe Cr-l. On a
Soit M un fibré vectoriel de base X. On pose
M = 9 ( M ; Q) = M* @ Q
.
'
l
'
Si M est de classe Ch, avec h E NK v (O} et h < r - 1, il en est de même de a. L'application canonique de M dans
= S ( S ( M ; Q); Q) est un isomorphisme; on l'utilise
pour identifier M à M.
14.3.2 (u Définition du transposé b
)
)
.
Soit k un entier positif < r - 1, et soit D un
opérateur différentiel sur X, de type E +- F, d'ordre Gk, et de classe Ch, avec
h E NK u {O} et k G h < r - k. Il existe alors un opérateur différentiel tD sur X, de
type F -t et d'ordre < k, jouissant de la propriété suivante:
Soit 5 = (tl,. . . , 5") un système de coordonnées dans un ouvert U de X et soit
s =
si a (resp. t = (tj), , ,
,
,
)
un repère de E (resp. de F) sur U. Soit (s?) (resp. (t;))
le repère de E* (resp. de F*) tel que = Si,), et soit (.fi)
(resp. (fj)) le repère de E (resp. F) sur U obtenu en formant le produit tensoriel de ( s: )
(resp. de (t,*)) avec le repère w = dtl A - . - A dp de Q. Soient cz (1 < i < e,
1 < j < f, la] < k) les fonctions de classe Ch sur U telles que l'on ait
quelles que soient les fonctionsf, dans Vh+k(U), cf. 14.1.4, (3'). On a alors
quelles que soient les fonctions gj dans %h+k(U).
On aura soin de ne pas confondre fi avec le revêtement de M défini en 10.2.4 et noté de la même
manière.