ouvert U de x telle que d,f = w , et une section s de classe Cr de E dans U telle que
s(x) = v. Il existe une famille (rpO, rp,, . . . , rpk) de sections de F dans U et une seule telle
que
k
e-tfD(etfs) = 1 tjpj pour tout t E K.
i = o
Alors, rpk(x) ne dépend pas du choix de f et s telles que d, f = w, v(x) = s; l'application
v H ~ ~ ( x )
est un élément X(w) de Z(E,; F,), et h est une application polynomiale
homogène de degré k de T,(X)* dans DEP(E, ; F,). Cette application est égale au symbole
uk(D)(x) de D en x.
14.2.4 ((( Le cas scalaire )>). Prenons E = F = Kx, auquel cas on identifie Dk(E, F) au
fibré Tk)(X) des distributions ponctuelles d'ordre dk, cf. 14.1.6. On a
Sk@, F) = TSkV(X))
et le symbole
uk : Fk)(X) -+ TSk(T(X))
n'est autre que le composé
où ik est l'isomorphisme défini en 13.3.2.
Prenons par exemple pour X un ouvert de Kn, et soit (el, . . . , en) la base canonique
de Kn (identifié aux espaces tangents T,(X)). Si a E Nn est tel que la1 < k, le symbole
de l'opérateur A" est donné par les formules (cf. 13.3.3):
uk(Aa)W = 0
si ]al < k
uk(Aa)(x) = ~ " ~ ( ~ 1 ) .
. -ya,(en) si = k,
le produit des ya,(ei) étant le produit symétrique, cf. 13.2.6 et 13.3.3.
14.2.5 ((< Symbole d'un composé D). Les notations et hypothèses sont celles de 14.1.8.
La composition des applications linéaires définit un accouplement
9 ( F ; G) x P(E; F) -+ P(E; G).
D'autre part, l'opération de produit symétrique définit un accouplement
TSk"(T(X)) x TSk'(T(X)) + TSku(X)).
Comme on a
Sk"(F, G) = TSk"(T(X)) @ 8 ( F ; G)
SL'(E, F) = TSk'(T(X)) @ P(E; F)
cf. 14.2.2,
Sk(E, G) = TSk(T(X)) @ 3 ( E ; G )
on déduit de là, par produit tensoriel, un accouplement
(*)
Sk"(F, G) x S k '( E, F) -+ Sk(E, G).
On a alors la formule
uk(D" 0 Dr) = ûk"@"). uk-@'),
s(x) = v. Il existe une famille (rpO, rp,, . . . , rpk) de sections de F dans U et une seule telle
que
k
e-tfD(etfs) = 1 tjpj pour tout t E K.
i = o
Alors, rpk(x) ne dépend pas du choix de f et s telles que d, f = w, v(x) = s; l'application
v H ~ ~ ( x )
est un élément X(w) de Z(E,; F,), et h est une application polynomiale
homogène de degré k de T,(X)* dans DEP(E, ; F,). Cette application est égale au symbole
uk(D)(x) de D en x.
14.2.4 ((( Le cas scalaire )>). Prenons E = F = Kx, auquel cas on identifie Dk(E, F) au
fibré Tk)(X) des distributions ponctuelles d'ordre dk, cf. 14.1.6. On a
Sk@, F) = TSkV(X))
et le symbole
uk : Fk)(X) -+ TSk(T(X))
n'est autre que le composé
où ik est l'isomorphisme défini en 13.3.2.
Prenons par exemple pour X un ouvert de Kn, et soit (el, . . . , en) la base canonique
de Kn (identifié aux espaces tangents T,(X)). Si a E Nn est tel que la1 < k, le symbole
de l'opérateur A" est donné par les formules (cf. 13.3.3):
uk(Aa)W = 0
si ]al < k
uk(Aa)(x) = ~ " ~ ( ~ 1 ) .
. -ya,(en) si = k,
le produit des ya,(ei) étant le produit symétrique, cf. 13.2.6 et 13.3.3.
14.2.5 ((< Symbole d'un composé D). Les notations et hypothèses sont celles de 14.1.8.
La composition des applications linéaires définit un accouplement
9 ( F ; G) x P(E; F) -+ P(E; G).
D'autre part, l'opération de produit symétrique définit un accouplement
TSk"(T(X)) x TSk'(T(X)) + TSku(X)).
Comme on a
Sk"(F, G) = TSk"(T(X)) @ 8 ( F ; G)
SL'(E, F) = TSk'(T(X)) @ P(E; F)
cf. 14.2.2,
Sk(E, G) = TSk(T(X)) @ 3 ( E ; G )
on déduit de là, par produit tensoriel, un accouplement
(*)
Sk"(F, G) x S k '( E, F) -+ Sk(E, G).
On a alors la formule
uk(D" 0 Dr) = ûk"@"). uk-@'),